Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№726 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Дачник проделал путь длиной 46 км. Он шёл 2 ч пешком и 3 ч ехал на велосипеде. На велосипеде он двигался в 2,4 раза быстрее, чем пешком. С какой скоростью дачник шёл и с какой скоростью он ехал на велосипеде?
№726 учебника 2013-2022 (стр. 163):
Даны выражения:
\[ 3a(a + 6) \quad \text{и} \quad (3a + 6)(a + 4). \]Сравните их значения при \(a = -5; 0; 40\). Докажите, что при любом \(a\) значение первого выражения меньше значения второго.
№726 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Вспомните:
№726 учебника 2013-2022 (стр. 163):
Вспомните:
№726 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Пусть \( x\) км/ч - скорость дачника пешком, а \(y \) км/ч - скорость на велосипеде. За \(2\) ч пешком он прошел \(2x\) км и за \(3\) ч проехал на велосипеде \(3y\) км, тогда \(2x + 3y = 46\). На велосипеде он двигался в 2,4 раза быстрее, чем пешком, тогда \(y=2,4x\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} 2x + 3y = 46, \\ y=2,4x \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 3\cdot2,4x = 46, \\ y=2,4x \end{cases}\)
\(2x + 3\cdot2,4x = 46\)
\(2x + 7,2x = 46\)
\(9,2x = 46\)
\(x = \frac{46}{9,2}\)
\(x = \frac{460}{92}\)
\(x = 5\)
\(y = 2,4\cdot5 = 12\)
Ответ: скорость пешком — 5 км/ч, скорость на велосипеде — 12 км/ч.
Пояснения:
Составляем систему: одно уравнение описывает зависимость скоростей, другое — общее расстояние.
Решаем систему способом подстановки.
Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:
1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
№726 учебника 2013-2022 (стр. 163):
\( 3a(a + 6) \) и \( (3a + 6)(a + 4)\)
1) Если \(a = -5\), то
\( 3a(a + 6) = 3\cdot(-5)\cdot(-5 + 6) =\)
\(=-15\cdot1 = -15\).
\( (3a + 6)(a + 4) = \)
\(=(3\cdot(-5) + 6)(-5+4)=\)
\(=(-15 + 6)\cdot(-1) =\)
\(=-9\cdot(-1) = 9\),
\(-15 < 9\)
\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).
2) Если \(a = 0\), то
\( 3a(a + 6) = 3\cdot0\cdot(0 + 6) =0\),
\( (3a + 6)(a + 4) = \)
\(=(3\cdot0 + 6)(0+4) = \)
\(=6\cdot4 = 24\),
\(0 < 24\)
\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).
3) Если \(a = 40\), то
\( 3a(a + 6) = 3\cdot40\cdot(40 + 6) =\)
\(=120\cdot46 =5520\),
| × | 1 | 2 | 0 | |
| 4 | 6 | |||
| + | 7 | 2 | ||
| 4 | 8 | |||
| 5 | 5 | 2 | 0 |
\( (3a + 6)(a + 4) = \)
\(=(3\cdot40 + 6)(40+4) = \)
\(=(120 + 6)\cdot44 =\)
\(=126\cdot44 = 5544\)
| × | 1 | 2 | 6 | |
| 4 | 4 | |||
| + | 5 | 0 | 4 | |
| 5 | 0 | 4 | ||
| 5 | 5 | 4 | 4 |
\(5520 < 5544\)
\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).
4) \( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\) при любом \(a\).
\( 3a(a + 6) - (3a + 6)(a + 4)=\)
\(=3a^2 + 18a -(3a^2 +12a + 6a +24) =\)
\(=3a^2 + 18a -(3a^2 +18a +24) =\)
\(=\cancel{3a^2} + \cancel{18a} -\cancel{3a^2} - \cancel{18a} - 24) =\)
\(=-24 < 0\)
Пояснения:
При доказательстве использовали то, что если \(a - b < 0\), то \(a < b\).
Мы нашли, что разность выражений \( 3a(a + 6) \) и \( (3a + 6)(a + 4)\) всегда равна \(-24\), значит,
\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\) при любом \(a\).
Вернуться к содержанию учебника