Элементы математической логики

Математическая логика - наука, которая изучает математические доказательства (логически безупречные рассуждения). Она учит, как надо рассуждать, чтобы получить верные выводы. Высказывание - это любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Например, пишут:

А{Томбов - город России};

В{12<11};

C{число 4 - четное}.

Любое высказывание является истинным, или ложным. Если высказывание А истинно, то будем говорить, что ему поставлено в соответствие число 1, если высказывание А ложно - то число 0. Слова "и", "или", "если..., то", тогда и только тогда" и т.п. помогают из имеющихся высказываний составлять более сложные высказывания. Примерами таких высказываний могут служить теоремы, с которыми можно ознакомится в курсе геометрии.

Рассмотрим следующее высказывание:

С{122 и 123}.

Оно составлено из двух высказываний А{122} и В{123} с помощью союза "и". Высказывание С называют конъюнкцией высказываний А и В.

Определение

Конъюнкцией (или логическим произведением) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если каждое из высказываний А и В истинно, и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкцию высказываний А и В обозначают так: АВ (читают "А и В" или "А конъюнкция В"). То есть в примере выше можно сказать, что высказывание С является высказыванием АВ. Также говорят, что высказывание С получено из высказываний А и В в результате логической операции конъюнкции.

Логично, что истинность или ложность высказывания АВ зависит от истинности или ложности высказываний А и В. Эту зависимость удобно представить в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

А В АВ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Определение

Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний А или В истинно, и ложно, если они оба ложны.

Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают так: АВ (читают "А или В" или "А дизъюнкция В"). Таблица истинности для дизъюнкции:

А В АВ
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Определение

Импликацией (или логическим следованием) двух высказываний А и В называют такое высказывание АВ (читают: "если А, то В"), которое ложно при условии, что высказывание А истинно, а высказывание В ложно, а во всех остальных случаях оно истинно.

В импликации АВ высказывание А называют условием, а высказывание В - выводом. Таблица истинности для импликации:

А В АВ
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Определение

Высказывания А и В называют логически эквивалентными, если они или оба истинны, или оба ложны

Пишут А = В. Иными словами: А = В тогда и только тогда, если АВ является истинным высказыванием.

Советуем посмотреть:

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

8 класс

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник