Элементы математической логики

Математическая логика - наука, которая изучает математические доказательства (логически безупречные рассуждения). Она учит, как надо рассуждать, чтобы получить верные выводы. Высказывание - это любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Например, пишут:

А{Томбов - город России};

В{12<11};

C{число 4 - четное}.

Любое высказывание является истинным, или ложным. Если высказывание А истинно, то будем говорить, что ему поставлено в соответствие число 1, если высказывание А ложно - то число 0. Слова "и", "или", "если..., то", тогда и только тогда" и т.п. помогают из имеющихся высказываний составлять более сложные высказывания. Примерами таких высказываний могут служить теоремы, с которыми можно ознакомится в курсе геометрии.

Рассмотрим следующее высказывание:

С{122 и 123}.

Оно составлено из двух высказываний А{122} и В{123} с помощью союза "и". Высказывание С называют конъюнкцией высказываний А и В.

Определение

Конъюнкцию высказываний А и В обозначают так: АВ (читают "А и В" или "А конъюнкция В"). То есть в примере выше можно сказать, что высказывание С является высказыванием АВ. Также говорят, что высказывание С получено из высказываний А и В в результате логической операции конъюнкции.

Логично, что истинность или ложность высказывания АВ зависит от истинности или ложности высказываний А и В. Эту зависимость удобно представить в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Определение

Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают так: АВ (читают "А или В" или "А дизъюнкция В"). Таблица истинности для дизъюнкции:

А	В	АВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Определение

Импликацией (или логическим следованием) двух высказываний А и В называют такое высказывание АВ (читают: "если А, то В"), которое ложно при условии, что высказывание А истинно, а высказывание В ложно, а во всех остальных случаях оно истинно.

В импликации АВ высказывание А называют условием, а высказывание В - выводом. Таблица истинности для импликации:

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Определение

Пишут А = В. Иными словами: А = В тогда и только тогда, если АВ является истинным высказыванием.