Упражнение 704 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - x - 42=0\)

\(a=1,\ b=-1,\ c=-42\).

\(\;D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1+168=169,\)     \( \sqrt D=13.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{1+13}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\)

\(x_{2}=\dfrac{1-13}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)

\(x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6).\)

б) \(y^2 + 9y + 18=0\)

\(a=1,\ b=9,\ c=18\).

\(\;D=b^{2}-4ac=\)

\(=9^{2}-4\cdot1\cdot18=\)

\(=81-72=9,\)     \( \sqrt D=3.\)

\(y_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_{1}=\dfrac{-9+3}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\)

\(y_{2}=\dfrac{-9-3}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)

\(y^2 + 9y + 18 =(y + 3) (y + 6).\)

в) \(81x^2 + 18x + 1 =\)

\(=(9x)^2 + 2\cdot 9x \cdot 1 + 1^2=\)

\(= (9x + 1)^2.\)

г) \(16b^2 - 24b + 9 =\)

\(=(4b)^2 - 2\cdot 4b \cdot 3 + 3^2=\)

\(= (4b - 3)^2.\)

д) \(6x^2 - x - 1=0\)

\(a=6,\ b=-1,\ c=-1\).

\(\;D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-1)^{2}-4\cdot6\cdot(-1)=\)

\(=1+24=25,\)     \( \sqrt D=5.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{1+5}{2\cdot6}=\frac{6}{12}=\frac12\)

\(x_{2}=\dfrac{1-5}{2\cdot6}=\frac{-4}{12}=-\frac13.\)

\(6x^2 - x - 1=\)

\(=6\bigg(x - \frac12\bigg)\bigg(x + \frac13\bigg)=\)

\(=2\bigg(x - \frac12\bigg)\cdot3\bigg(x + \frac13\bigg)=\)

\(=(2x - 1)(3x + 1).\)

е) \(3a^2 - 13a - 10=0\)

\(a'=3,\ b=-13,\ c=-10\).

\(\;D=b^{2}-4a'c=\)

\(=(-13)^{2}-4\cdot3\cdot(-10)=\)

\(=169+120=289,\)     \( \sqrt D=17.\)

\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a'}\)

\(a_{1}=\dfrac{13+17}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5\)

\(a_{2}=\dfrac{13-17}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\)

\(3a^2 - 13a - 10 = \)

\(=3 (a - 5)\bigg(a + \frac23\bigg)=\)

\(= (a - 5)(3a + 2)\)

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

5) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку или разложив его на множители сразу в две скобки для получения целочисленных выражений.

6) В пунктах в) и г) используем формулы сокращенного умножения:

1. Формула квадрата суммы (задание в)):

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

2. Формула квадрата разности (задание г)):

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

а) \(x_n=2^n\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2  ^{\cancel n + 1 - \cancel n} =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

б) \(x_n=3^{-n}\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{3^{-n+1}}{3^{-n}}=3  ^{\cancel {-n} + 1 - \cancel {(-n)}} =3\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

в) \(x_n=n^2\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{(n+1)^2}{n^2} =\)

\(=\dfrac{n^2 + 2n+1}{n^2} =\)

\(=\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{2\cancel n}{n^{\cancel2}} + \dfrac{1}{n^2}=\)

\(=1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2} \) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) не является геометрической.

г) \(x_n=a b^n\), где \(a\ne 0,\ b\ne 0\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\cancel ab^{n+1}}{\cancel ab^n}=b^{\cancel n+1-\cancel n}=b\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

Пояснения:

Используемые определения и правила:

1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):

\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]

2) Знаменатель прогрессии \(q\) находится по формуле:

\[q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\]

3) Степени с одинаковым основанием при делении дают разность показателей:

\[\frac{a^{n+1}}{a^n} = a^{\cancel n + 1 - \cancel n} = a^1 = a.\]

Разбор случаев.

а), б) Последовательности вида \(c^n\) всегда являются геометрическими прогрессиями со знаменателем \(c\).

в) В последовательности \(n^2\) отношение соседних членов меняется, поэтому она не является геометрической.

г) Последовательность вида \(ab^n\) по определению является геометрической прогрессией со знаменателем \(b\).