Упражнение 384 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (y+3)^2 + y^2 = 9, \\ x = y + 3 \end{cases}\)

\((y + 3)^2 + y^2 = 9\)

\(y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9\)

\(2y^2 + 6y + 9 = 9\)

\(2y^2 + 6y = 9 - 9\)

\(2y^2 + 6y = 0\)

\(2y(y + 3) = 0\)

\(y = 0\) или \(y + 3 = 0\)

                  \(y = -3\)

Если \(y = 0\), то

\(x = 0 + 3 = 3\).

Если \(y = -3\), то

\(x = -3 + 3= 0\).

Ответ: \((3; 0)\), \((0; -3)\).

б) \(\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 4, \\ (y + 4)y = 12 \end{cases}\)

\((y + 4)y = 12\)

\(y^2 + 4y - 12 = 0\)

\(D =4^2 - 4\cdot1\cdot (-12) =\)

\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(y_1 = \dfrac{-4 + 8}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)

\(y_2 = \dfrac{-4 - 8}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)

1) Если \(y = 2\), то

\(x = 2 + 4 = 6\).

2) Если \(y = -6\), то

\(x = -6 + 4 = -2\).

Ответ: \((6; 2)\), \((-2; -6)\).

в) \(\begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2(10 - y^2) - y = -1, \\ x = 10 - y^2 \end{cases}\)

\(2(10 - y^2) - y = -1\)

\(20 - 2y^2 - y + 1 = 0\)

\(-2y^2 - y + 21 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(2y^2 + y - 21 = 0\)

\(D = 1^2 -4\cdot2\cdot(-21\) =\)

\(=1 + 168 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {169} = 13\).

\(y_1 = \frac{-1 + 13}{2\cdot2} = \frac{12}{4} = 3\).

\(y_2 = \frac{-1 - 13}{2\cdot2} = \frac{-14}{4} = -\frac72 = -3,5\).

Если \(y = 3\), то

\(x = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1\).

Если \(y = -3,5\), то

\(x = 10 - (-3,5)^2 = 10 - 12,25 =\)

\(=-2,25\).

Ответ: \((1; 3)\), \((-2,25; -3б5)\).

Пояснения:

При решении систем используем метод подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую из одного из уравнений.

2. Подставить полученное выражение в другое уравнение и, решив полученное уравнение, найти оставшуюся переменную.

3. Найти вторую переменную подстановкой.

а) \(\begin{cases}4x^2 - 27x - 7 > 0,\\ x > 0\end{cases}\)

\(4x^2 - 27x - 7 > 0\)

\(y = 4x^2 - 27x - 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(4x^2 - 27x - 7 = 0\)

\(D = (-27)^2 - 4\cdot 4\cdot (-7) =\)

\(=729 + 112 = 841 > 0\)  - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 29\)

\(x_{1} = \dfrac{27 + 29}{2\cdot4} = \dfrac{56}{8} = 7.\)

\(x_{2} = \dfrac{27 - 29}{2\cdot4} = \dfrac{-2}{8} = -\dfrac14.\)

\(x \in (7; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (7; +\infty)\).

б) \(\begin{cases}-3x^2 + 17x + 6 < 0,\\ x < 0\end{cases}\)

\(-3x^2 + 17x + 6 < 0\)

\(y = -3x^2 + 17x + 6\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-3x^2 + 17x + 6 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(3x^2 - 17x - 6 = 0\)

\(D = (-17)^2 - 4\cdot 3\cdot (-6) =\)

\(=289 + 72 = 361 > 0\)  - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 19\).

\(x_{1} = \dfrac{17 + 19}{2\cdot3} = \dfrac{36}{6} = 6.\)

\(x_{2} = \dfrac{17 - 19}{2\cdot3} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}.\)

\(x \in \left(-\infty; -\frac13\right)\)

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\frac13\right)\).

в) \(\begin{cases}x + 1 < 0,\\ 2x^2 - 18 > 0;\end{cases}\)

1) \( x + 1 < 0 \)

\(x < -1. \)

2) \( 2x^2 - 18 > 0\)

\(y = 2x^2 - 18\)  - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^2 - 18 = 0\)  \(/ : 2\)

\( x^2 - 9 = 0\)

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm\sqrt9\)

\(x = \pm3\)

\( x \in (-\infty; -3)\)

Ответ: \( x \in (-\infty; -3)\).

г) \(\begin{cases}x - 4 > 0,\\ 3x^2 - 15x < 0\end{cases}\)

1) \( x - 4 > 0 \)

\(x > 4. \)

2) \( 3x^2 - 15x < 0\)

\(y = 3x^2 - 15x\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(3x^2 - 15x = 0\)

\( 3x(x - 5) = 0 \)

\(x = 0\)  или  \(x - 5 = 0\)

                     \(x = 5\)

\(x \in (4; 5)\).

Ответ: \(x \in (4; 5)\).

Пояснения:

Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений всех неравенств системы. Поэтому после нахождения промежутков для каждого неравенства мы строим их пересечение.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Чтобы найти корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).