Упражнение 317 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0\)

\(x^2(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0\)

\((x - 1)(x^2 -4(x - 1) = 0\)

\((x - 1)(x^2 -4x + 4) = 0\)

\((x - 1)(x - 2)^2 = 0\)

\(x - 1 = 0\)  или  \((x - 2)^2 = 0\)

                             \(x - 2 = 0\)

                             \(x = 2\)

Ответ: \(1;\; 2\).

б) \(2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0\)

\(2y^3(y + 1) - (y + 1)^2 = 0\)

\((y + 1)(2y^2 - (y + 1)) = 0\)

\((y + 1)(2y^2 - y - 1) = 0\)

\(y + 1 = 0\)

\(y = -1\)

или \(2y^2 - y - 1 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-1) =\)

\(= 1 + 8 =9 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt9 = 3\).

\(x_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot2} = \frac44 = 1\).

\(x_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} =-\frac12=-0,5\).

Ответ: \( -1;\; -0,5;\; 1.\)

в) \(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0\)

\((5x^3 + 40) - (19x^2 + 38) =0\)

\(5(x^3 + 8) - 19x(x + 2) = 0\)

\(5(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 19x(x+2) = 0\)

\((x + 2) (5(x^2 - 2x + 4) - 19x) =0\)

\((x + 2) (5x^2 - 10x + 20 - 19x) =0\)

\((x + 2)(5x^2 -29x + 20)=0\)

\(x + 2 = 0\)

\(x = -2\)

или  \(5x^2 -29x + 20=0\)

\(D =(-29)^2 - 4 \cdot5\cdot 20 =\)

\(=841 - 400 = 441 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {441} = 21\).

\(x_1 = \frac{29 + 21}{2\cdot5} =\frac{50}{10} = 5\).

\(x_2 = \frac{29 - 21}{2\cdot5} =\frac{8}{10} = 0,8\).

Ответ: \( -2;\; 0,8;\; 5.\)

г) \(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0\)

\((6x^3 + 6) - (31x^2 + 31x) = 0\)

\(6(x^3 + 1) - 31x(x + 1) = 0\)

\(6(x + 1)(x^2 - x + 1) - 31x(x + 1) = 0\)

\((x + 1) (6(x^2 - x + 1) - 31x) = 0\)

\(( x + 1) (6x^2 - 6x + 6 - 31x) = 0\)

\(( x + 1) (6x^2 - 37x + 6 ) = 0\)

\(x + 1= 0\)

\(x = -1\)

или \(6x^2 - 37x + 6 = 0\)

\(D = (-37)^2 - 4\cdot 6 \cdot 6 = \)

\(= 1369 - 144 = 1225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {1225} = 35\).

\(x_1 = \frac{37 + 35}{2\cdot6} = \frac{72}{12} = 6\).

\(x_2 = \frac{37 - 35}{2\cdot6} = \frac{2}{12} = \frac16\).

Ответ: \( -1;\; \frac16;\; 6.\)

Пояснения:

Чтобы решить уравнения, раскладывали левую часть на множители, используя способ группировки и в пунктах в) и г) формулу суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2\).

Затем использовали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Квадратное уравнение вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

а) \(x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1\)

\(x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0\)

\(2x^2 - 3x + 2 > 0\)

\(y = 2x^2 - 3x + 2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 =\)

\(=9 - 16 = -7 < 0\) - нет корней.

Ответ: \(x\) - любое число.

б) \(-2x^2 + 10x < 18 - 2x\)

\(-2x^2 + 10x - 18 + 2x < 0\)

\(-2x^2 + 12x - 18 < 0\)

\(y = -2x^2 + 12x - 18\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-2x^2 + 12x - 18 = 0\)   \( / : (-2)\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x-3)^2 = 0\)

\(x-3=0\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x \ne 3\).

Пояснения:

Выполняем перенос компонентов из правой части уравнения в левую со сменой знака и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной),

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В пункте б) нашли корень квадратного трехчлена без дискриминанта, так как рассматриваемый квадратный трехчлен модно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).