Вернуться к содержанию учебника
Найдите корни уравнения:
а) \((a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16\);
б) \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1\).
Вспомните:
а) \((a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16\)
\((a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16\)
\(a^4 - 16 = 25a^2 - 16\)
\(a^4 - \cancel{16} - 25a^2 + \cancel{16} = 0\)
\(a^4 - 25a^2 = 0\)
\(a^2(a^2 - 25) = 0\)
\(a^2 = 0\) или \(a^2 - 25 = 0\)
\(a = 0\) \(a^2 = 25\)
\(a = \pm \sqrt{25}\)
\(a = \pm 5\)
Ответ: \(-5; \, 0; \, 5\).
б) \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1\)
\((x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1\)
\(x^4 - 1 = 6x^2 - 1\)
\(x^4 - \cancel1 - 6x^2 + \cancel1 = 0\)
\(x^4 - 6x^2 = 0\)
\(x^2(x^2 - 6) = 0\)
\(x^2 = 0\) или \(x^2 - 6 = 0\)
\(x = 0\) \( x^2 = 6\)
\(x = \pm \sqrt{6}\)
Ответ: \(-\sqrt{6}; \, 0; \, \sqrt{6}\).
Пояснения:
Правило разности квадратов:
\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \]
Свойство степени:
\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\).
Чтобы решить уравнение, переносим все компоненты из правой части уравнения в левую со сменой знака на противоположный, чтобы справа получился нуль, и привести в левой части подобные слагаемые.
Во всех случаях разложение приводит к уравнению вида \[ x^2(x^2 - k) = 0, \] которое раскладывается на два уравнения: \[ x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = k. \]
Уравнения вида \(x^2 = a\) приводят к решениям \[ x = \pm \sqrt{a}. \]
Вернуться к содержанию учебника