Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(y^7 - y^6 + y = 1\);
б) \(y^7 + y^6 - 27y = 27\).
Вспомните:
а) \(y^7 - y^6 + y = 1\)
\(y^7 - y^6 + y - 1 = 0\)
\(y^6(y - 1) + (y - 1) = 0\)
\((y - 1)(y^6 + 1) = 0\)
\(y - 1 = 0\) или \(y^6 + 1 = 0\)
\(y = 1\) \(y^6 = -1\) - нет корней.
Ответ: \(y = 1\).
б) \(y^7 + y^6 - 27y = 27\)
\(y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0\)
\(y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0\)
\((y + 1)(y^6 - 27) = 0\)
\(y + 1 = 0\) или \(y^6 - 27 = 0\)
\(y = -1\) \(y^6 = 27\)
\((y^2)^3 = 3^3 \)
\(y^2 = 3\)
\(y = \pm \sqrt{3}\)
Ответ: \( -1;\; -\sqrt{3};\; \sqrt{3}.\)
Пояснения:
Используемые приёмы:
1) Перенос всех членов уравнения в одну часть со сменой знака.
2) Группировка слагаемых в многочлене и вынесение общего множителя: \[ A\cdot B + C\cdot B = B(A + C). \]
3) Свойство произведения: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
4) Для чётной степени: \( y^6 \ge 0\) при любом значении \(y\).
Пояснение к пункту а).
Переносим всё в левую часть: \[ y^7 - y^6 + y - 1 = 0. \]
Замечаем пары с общим множителем:
\( (y^7 - y^6) + (y - 1) =\)
\(=y^6(y - 1) + (y - 1). \)
Выносим общий множитель \((y - 1)\):
\(y^6(y - 1) + (y - 1) = \)
\(=(y - 1)(y^6 + 1). \)
Получили произведение двух множителей, приравниваем каждый к нулю: \[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1, \] \[ y^6 + 1 = 0 \Rightarrow y^6 = -1. \]
Но при любом значении \(y\) число \(y^6\) всегда неотрицательно, поэтому равенство \(y^6 = -1\) невозможно. Остаётся единственное возможное решение \(y = 1\).
Пояснение к пункту б).
Снова переносим всё в левую часть: \[ y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0. \]
Группируем:
\( (y^7 + y^6) - (27y + 27) =\)
\(=y^6(y + 1) - 27(y + 1). \)
Выносим общий множитель \((y + 1)\):
\( y^6(y + 1) - 27(y + 1) =\)
\(=(y + 1)(y^6 - 27). \)
Приравниваем множители к нулю: \[ y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1, \] \[ y^6 - 27 = 0 \Rightarrow y^6 = 27. \]
Заметим, что \(y^6 = (y^2)^3\), \( 27 = 3^3\), значит, \(y^2 = 3\), откуда \(y = \pm\sqrt3\).
Итак, у второго уравнения три корня:
\[ y = -1,\, y = \sqrt{3},\, y = -\sqrt{3}. \]
Вернуться к содержанию учебника