Упражнение 321 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 105

а) \((x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24\)

Пусть \(x^2 + 6x = t\), тогда

\(t^2 - 5t = 24\)

\(t^2 - 5t - 24 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-24) = \)

\(= 25 + 96 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {121} = 11\).

\(t_1 = \frac{5+11}{2\cdot1} =\frac{16}{2}=8\).

\(t_2 = \frac{5-11}{2\cdot1} =\frac{-6}{2}=-3\).

1) Если \(t = 8\), то

\(x^2 + 6x = 8\)

\(x^2 + 6x - 8 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-8)= \)

\(= 36 + 32= 68 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {68} = \sqrt {4\cdot17} = 2\sqrt{17}\).

\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}\)

2) Если \(t = -3\), то

\(x^2 + 6x = -3\)

\(x^2 + 6x + 3 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot1\cdot3= \)

\(=36 - 12 = 24 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {24} = \sqrt {4\cdot6} = 2\sqrt{6}\).

\(x_{3,4} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}\)

Ответ: \(-3 + \sqrt{17}; \, -3 - \sqrt{17};\)

\(-3 + \sqrt{6}; \, -3 - \sqrt{6}.\)

б) \((x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3\)

Пусть \( x^2 - 2x - 5 = t\), тогда

\(t^2 - 2t = 3\)

\(t^2 - 2t - 3 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\( = 4 + 12 = 16 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(t_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(t_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

1) Если \(t = 3\), то

\(x^2 - 2x - 5 = 3\)

\(x^2 - 2x - 5 - 3 = 0\)

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)= \)

\( = 4 + 32 = 36 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt {36} = 6\).

\(x_{1} = \dfrac{2 + 6}{2\cdot1} =\frac{8}{2}= 4\).

\(x_{2} = \dfrac{2 - 6}{2\cdot1} =\frac{-4}{2}= -2\).

2) Если \(t = -1\), то

\(x^2 - 2x - 5 = -1\)

\(x^2 - 2x - 5 + 1 = 0\)

\(x^2 - 2x - 4 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot (-4) =\)

\(= 4 + 16 = 20 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {20} = \sqrt{4\cdot5} = 2\sqrt5\).

\(x_{3,4} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}\).

Ответ: \(4; \, -2; \, 1 + \sqrt{5}; \, 1 - \sqrt{5}.\)

в) \((x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7\)

Пусть \(x^2 + 3x - 25 = t\)

\(t^2 - 2t = -7\)

\(t^2 - 2t + 7 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot7 =\)

\(=4 - 28 = -24 < 0\) - корней нет.

Ответ: корней нет.

г) \((y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12\)

Пусть \( (y + 2)^2 = t \ge0\), тогда

\(t^2 - t = 12\)

\(t^2 - t - 12 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)

\(=1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(t_1 = \frac{1 + 7}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(t_2 = \frac{1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 4\), то

\((y + 2)^2 = 4\)

\(y + 2 = 2\)  или  \(y + 2 = -2\)

\(y = 2 - 2\)          \(y = -2 - 2\)

\(y = 0\)                  \(y = -4\)

Ответ: \(-4; \, 0\).

д) \((x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3\)

Пусть \( x^2 + 2x\), тогда

\(t(t + 2) = 3\)

\(t^2 + 2t - 3 = 0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\( = 4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(t_1 = \frac{-2 + 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2}=1\).

\(t_1 = \frac{-2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-6}{2}=-3\).

1) Если \(t = 1\), то

\(x^2 + 2x = 1\)

\(x^2 + 2x - 1 = 0\)

\(D =2^2 - 4\cdot1\cdot(-1)=\)

\(= 4 + 4 = 8 > 0\) = 2 корня.

\(\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt2\).

\(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\)

2) Если \(t = -3\), то

\(x^2 + 2x = -3\)

\(x^2 + 2x + 3 = 0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot1\cdot3 =\)

\(= 4 - 12 = -8 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(-1 - \sqrt{2}; \, -1 + \sqrt{2}.\)

е) \((x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88\)

Пусть \(x^2 - x = t\), тогда

\((t - 16)(t + 2) = 88\)

\(t^2 + 2t - 16t - 32 - 88 = 0\)

\(t^2 - 14t - 120 = 0\)

\(D = (-14)^2 - 4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(= 196 + 480 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\).

\(t_1 = \frac{14 + 26}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20\).

\(t_2 = \frac{14 - 26}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

1) Если \(t = 20\), то

\(x^2 - x = 20\)

\(x^2 - x - 20 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\( = 1 + 80 = 81 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{81} = 9\).

\(x_1 = \frac{1 + 9}{2\cdot1} = \frac{10}{2} =5\).

\(x_2 = \frac{1 - 9}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} =-4\).

2) Если \(t = -6\), то

\(x^2 - x = -6\)

\(x^2 - x + 6=0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot6 = \)

\(= 1 - 24 = -23 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(-4; \, 5.\)

ж) \((2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0\)

Пусть \(2x^2 + 7x = t\), тогда

\((t - 8)(t - 3) - 6 = 0\)

\(t^2 - 3t - 8t + 24 - 6 =0\)

\(t^2 - 11t +18 = 0\)

\(D = (-11)^2 - 4\cdot1\cdot18 = \)

\(=121 - 72 = 49 >0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(t_1 = \frac{11 + 7}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

\(t_2 = \frac{11 - 7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

1) Если \(t = 9\), то

\(2x^2 + 7x = 9\)

\(2x^2 + 7x - 9 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-9) = \)

\(=49 + 72 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{121} = 11\).

\(x_1 = \frac{-7+11}{2\cdot2} = \frac{4}{4} = 1\).

\(x_2 = \frac{-7-11}{2\cdot2} = \frac{-18}{4} = -\frac92 = -4,5\).

2) Если \(t = 2\), то

\(2x^2 + 7x = 2\)

\(2x^2 + 7x - 2 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-2) =\)

\(49 + 16 = 65 > 0\) - 2 корня.

\(x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt {65}}{2\cdot2} = \frac{-7 \pm \sqrt {65}}{4}\).

Ответ: \(-4,5; \, 1; \, \frac{-7 - \sqrt {65}}{4};\, \frac{-7 + \sqrt {65}}{4}\).

---

Пояснения:

В каждом случае повторяющееся выражение заменяем переменной \(t\), в пункте г) учитываем то, что любое число в четной степени будет неотрицательно, поэтому в данном случае должно выполняться условие \(t \ge 0\).

После замены в каждом случае, выполнив преобразования, если необходимо, получаем квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\), которое решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратное уравнение не имеет корней.

Затем возвращаемся к переменной \(x\), используя полученные значения \(t\), и снова решаем квадратные уравнения относительно переменной \(x\).

Преобразования уравнений:

- из правой части уравнения переносим все компоненты в левую часть со сменой знака и приводим подобные слагаемые;

- свойство степени:

\((a^m)^n = a{m\cdot n}\);

- распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\);

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd\).