Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0\);
б) \(2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0\);
в) \(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0\);
г) \(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0\).
Вспомните:
а) \(x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0\)
\(x^2(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0\)
\((x - 1)(x^2 -4(x - 1) = 0\)
\((x - 1)(x^2 -4x + 4) = 0\)
\((x - 1)(x - 2)^2 = 0\)
\(x - 1 = 0\) или \((x - 2)^2 = 0\)
\(x - 2 = 0\)
\(x = 2\)
Ответ: \(1;\; 2\).
б) \(2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0\)
\(2y^3(y + 1) - (y + 1)^2 = 0\)
\((y + 1)(2y^2 - (y + 1)) = 0\)
\((y + 1)(2y^2 - y - 1) = 0\)
\(y + 1 = 0\)
\(y = -1\)
или \(2y^2 - y - 1 = 0\)
\(D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-1) =\)
\(= 1 + 8 =9 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt9 = 3\).
\(x_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot2} = \frac44 = 1\).
\(x_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} =-\frac12=-0,5\).
Ответ: \( -1;\; -0,5;\; 1.\)
в) \(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0\)
\((5x^3 + 40) - (19x^2 + 38) =0\)
\(5(x^3 + 8) - 19x(x + 2) = 0\)
\(5(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 19x(x+2) = 0\)
\((x + 2) (5(x^2 - 2x + 4) - 19x) =0\)
\((x + 2) (5x^2 - 10x + 20 - 19x) =0\)
\((x + 2)(5x^2 -29x + 20)=0\)
\(x + 2 = 0\)
\(x = -2\)
или \(5x^2 -29x + 20=0\)
\(D =(-29)^2 - 4 \cdot5\cdot 20 =\)
\(=841 - 400 = 441 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {441} = 21\).
\(x_1 = \frac{29 + 21}{2\cdot5} =\frac{50}{10} = 5\).
\(x_2 = \frac{29 - 21}{2\cdot5} =\frac{8}{10} = 0,8\).
Ответ: \( -2;\; 0,8;\; 5.\)
г) \(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0\)
\((6x^3 + 6) - (31x^2 + 31x) = 0\)
\(6(x^3 + 1) - 31x(x + 1) = 0\)
\(6(x + 1)(x^2 - x + 1) - 31x(x + 1) = 0\)
\((x + 1) (6(x^2 - x + 1) - 31x) = 0\)
\(( x + 1) (6x^2 - 6x + 6 - 31x) = 0\)
\(( x + 1) (6x^2 - 37x + 6 ) = 0\)
\(x + 1= 0\)
\(x = -1\)
или \(6x^2 - 37x + 6 = 0\)
\(D = (-37)^2 - 4\cdot 6 \cdot 6 = \)
\(= 1369 - 144 = 1225 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {1225} = 35\).
\(x_1 = \frac{37 + 35}{2\cdot6} = \frac{72}{12} = 6\).
\(x_2 = \frac{37 - 35}{2\cdot6} = \frac{2}{12} = \frac16\).
Ответ: \( -1;\; \frac16;\; 6.\)
Пояснения:
Чтобы решить уравнения, раскладывали левую часть на множители, используя способ группировки и в пунктах в) и г) формулу суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2\).
Затем использовали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Квадратное уравнение вида
\( ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)
Вернуться к содержанию учебника