Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(x^5 - x^3 = 0\);
б) \(x^6 = 4x^4\);
в) \(0{,}5x^3 = 32x\);
г) \(0{,}2x^4 = 4x^2\).
Вспомните:
а) \(x^5 - x^3 = 0\)
\(x^3(x^2 - 1) = 0\)
\(x^3 = 0\) или \(x^2 - 1 = 0\)
\(x = 0\) \( x^2 = 1\)
\(x = \pm \sqrt1\)
\(x = \pm 1\)
Ответ: \(-1; \, 0; \, 1\).
б) \(x^6 = 4x^4\)
\(x^6 - 4x^4 = 0\)
\(x^4(x^2 - 4) = 0\)
\(x^4 = 0\) или \(x^2 - 4 = 0\)
\(x = 0\) \(x^2 = 4\)
\(x = \pm\sqrt 4\)
\(x = \pm 2\)
Ответ: \(-2; \, 0; \, 2\).
в) \(0{,}5x^3 = 32x\)
\(0{,}5x^3 - 32x = 0\)
\(x(0{,}5x^2 - 32) = 0\)
\(x = 0\) или \(0{,}5x^2 - 32 = 0\)
\(0{,}5x^2 = 32\)
\(x^2 = \frac{32}{0,5}\)
\(x^2 = \frac{320}{5}\)
\(x^2 = 64\)
\(x = \pm \sqrt{64}\)
\(x = \pm 8\)
Ответ: \(-8; \, 0; \, 8\).
г) \(0{,}2x^4 = 4x^2\)
\(0{,}2x^4 - 4x^2 = 0\)
\(x^2(0{,}2x^2 - 4) = 0\)
\(x^2 = 0\) или \(0{,}2x^2 - 4 = 0\)
\(x = 0\) \( 0{,}2x^2 = 4\)
\(x^2 = \frac{4}{0,2}\)
\(x^2 = \frac{40}{2}\)
\(x^2 = 20\)
\(x = \pm \sqrt{20}\)
\(x = \pm \sqrt{4\cdot5}\)
\(x = \pm 2\sqrt{5}\)
Ответ: \(-2\sqrt{5}; \, 0; \, 2\sqrt{5}\).
Пояснения:
Используемые правила:
1. Чтобы решить уравнения вида
\(x^n - x^m = 0\), нужно вынести общий множитель. \[ x^n - x^m = x^m(x^{n-m} - 1). \]
2. Для уравнений, приводящихся к виду \[ x^k(a x^n - b) = 0, \] нужно рассматривать два случая:
\(x^k = 0\) и \(a x^n - b = 0\).
3. Уравнения вида \(x^2 = a\) приводят к решениям \[ x = \pm \sqrt{a}. \]
Свойства арифметического корня:
\(\sqrt {a^2\cdot b} = a\sqrt b\).
Вернуться к содержанию учебника