Упражнение 319 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 105

\(x^3 = x\)

Графический способ

\(y = x^3\)

\(y = x\)

Точки пересечения графиков:

\((-1;\,-1),\; (0;\,0),\; (1;\,1)\).

\(x = -1,\; 0,\; 1\) - корни уравнения.

Аналитический способ

\(x^3 = x\)

\(x^3 - x = 0\)

\(x(x^2 - 1) = 0\)

\(x(x - 1)(x + 1) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

Ответ: \(-1; \, 0; \,1\).

Пояснения:

Графический способ

Чтобы решить графически уравнение \(x^3 = x\), нужно найти точки пересечения двух графиков:

\(y = x^3\) и \(y=x\), где

\(y = x^3\) - кубическая функция, графиком которой является кубическая парабола. Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).

\(y= x\) - линейная функция, графиком является прямая. Строят график по двум точкам.

Решением уравнения являются значения координаты \(x\) для точек пересечения графиков.

Аналитический способ

Переносим все члены в одну часть, чтобы получить многочлен в левой части уравнения: \[ x^3 - x = 0. \] Выносим общий множитель \(x\): \[ x(x^2 - 1) = 0. \] Выражение в скобках — разность квадратов: \[x(x - 1)(x + 1) = 0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, значит: \[ x = 0,\quad x - 1 = 0,\quad x + 1 = 0. \] Отсюда получаем три корня: \[ x = 0,\quad x = 1,\quad x = -1. \]

Итак, оба способа дают один и тот же набор корней: \[ x = -1,\; 0,\; 1. \]