Упражнение 314 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 104

\(40 + \sqrt{x + 2} = x^2 + 6x + \sqrt{x + 2}\)

ОДЗ:  \(x + 2 \ge0\)

          \(x \ge -2\)

\(40 + \cancel{\sqrt{x + 2}} - x^2 - 6x - \cancel{\sqrt{x + 2}}=0\)

\(-x^2 - 6x + 40 = 0\)    \(/\times (-1)\)

\(x^2 + 6x - 40 = 0\)

\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = \)

\(=36 + 160 = 196 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{196} = 14\).

\(x_1 = \dfrac{-6 + 14}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(x_2 = \dfrac{-6 - 14}{2\cdot1} = \dfrac{-20}{2} = -10\) - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Чтобы уравнение с корнями имело смысл, требуется область допустимых значений переменной \(x\) (ОДЗ): подкоренное выражение не может быть отрицательно, то есть \[x + 2 \ge0 \Rightarrow x \ge -2. \]

2. Если в уравнении одинаковые выражения находятся по обе стороны знака равенства, их можно перенести и сократить, если это возможно.

3. Квадратное уравнение вида \[ ax^2 + bx + c = 0 \] решается через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Пояснение решения:

В уравнении присутствует \(\sqrt{x+2}\) слева и справа. Переносим выражение из правой части уравнения влево. Корни сокращаются, остаётся:

\(x^2 + 6x - 40 = 0.\)

Через дискриминант решаем полученное квадратное уравнение и находим корни \(4\) и \(-10\).

Проверяем подходят ли корни области допустимых значений (ОДЗ). Число \(-10\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому уравнение имеет единственный верный корень: \[ x = 4. \]