Упражнение 312 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^{2} - 4x - 12)^{2} + (x^{2} - 10x + 24)^{2} = 0\)

\( \begin{cases} (x^{2} - 4x - 12)^{2} = 0,\\ (x^{2} - 10x + 24)^{2} = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^{2} - 4x - 12 = 0,\\ x^{2} - 10x + 24 = 0 \end{cases} \)

1) \(x^{2} - 4x - 12 = 0\)

\(D = (-4)^2 -4 \cdot1\cdot(-12)=\)

\(=16 + 48 = 64>0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\( x_1 = \dfrac{4 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6\).

\( x_2 = \dfrac{4 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-4}{2} = -2\).

2) \(x^{2} - 10x + 24 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot24=\)

\(=100 - 96 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\( x_1 = \dfrac{10 + 2}{2\cdot1}=\dfrac{12}{2} = 6\).

\( x_2 = \dfrac{10 - 2}{2\cdot1}=\dfrac{8}{2} = 4\).

Ответ: \(x = 6.\)

б) \(|x^{2} + 15x + 50| + |x^{2} + 7x + 10| = 0\)

\( \begin{cases} |x^{2} + 15x + 50| = 0,\\ |x^{2} + 7x + 10| = 0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x^{2} + 15x + 50 = 0,\\ x^{2} + 7x + 10 = 0 \end{cases} \)

1) \(x^{2} + 15x + 50 = 0 \)

\(D = 15^2 - 4\cdot1\cdot50 =\)

\(=225 -200 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {25} = 5\).

\(x_1 = \dfrac{-15 + 5}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5\).

\(x_2 = \dfrac{-15 - 5}{2\cdot1} = \dfrac{-20}{2} = -10\).

2) \(x^{2} + 7x + 10 = 0 \)

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot10 = \)

\(= 49 - 40 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 9 = 3\).

\(x_1 = \dfrac{-7 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{-4}{2} = -2\).

\(x_2 = \dfrac{-7 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5\).

\((x + 5)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -5,\,-2.\)

Ответ: \(x = -5.\)

Пояснения:

1. Сумма квадратов.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((A)^{2} \ge 0,\; (B)^{2} \ge 0.\) Поэтому \((A)^{2} + (B)^{2} = 0\) возможно только при \(A = 0\) и \(B = 0\). Отсюда в пункте а) получили систему двух квадратных уравнений и искали общий корень.

2. Сумма модулей.

Модуль числа тоже неотрицателен: \(|A| \ge 0\). Если \(|A| + |B| = 0\), то и \(|A| = 0\), и \(|B| = 0\), то есть \(A = 0\) и \(B = 0\). В пункте б) это привело к системе двух квадратных уравнений, общий корень которой и является решением исходного уравнения.

а) \(3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3\)

\(3x^2 + 40x + 10 + x^2 - 11x - 3 < 0\)

\(4x^2 + 29x + 7 < 0\)

\(y = 4x^2 + 29x + 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).

\(4x^2 + 29x + 7=0\)

\(D = 29^2 - 4\cdot4\cdot7 =\)

\( = 841 - 112 = 729 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {729} = 27\).

\(x_1 = \frac{-29 + 27}{2\cdot4} = \frac{-2}{8} = -\frac14 = -0,25\).

\(x_2 = \frac{-29 - 27}{2\cdot4} = \frac{-56}{8} = -7\).

Ответ: \(x \in (-7; -0,25)\).

б) \(9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6\)

\(9x^2 - x + 9 - 3x^2 - 18x + 6 \ge 0\)

\(6x^2 - 19x + 15 \ge 0\)

\(y = 6x^2 - 19x + 15\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 6 > 0\).

\(6x^2 - 19x + 15 = 0\)

\(D = (-19)^2 - 4\cdot6\cdot15 =\)

\(= 361 - 360 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_1 = \frac{19 + 1}{2\cdot6} = \frac{20}{12} = \frac53 = 1\frac23\).

\(x_2 = \frac{19 - 1}{2\cdot6} = \frac{18}{12} = \frac32 = 1,5\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty; 1,5\right] \cup \left[1\frac23; +\infty\right)\).

в) \(2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)\)

\(2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 18x - 10x - 30 \)

\(2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30 \)

\(2x^2 + \cancel{8x} - 111 - 6x^2 - \cancel{8x} + 30 < 0\)

\(-4x^2 - 81 < 0\)

\(y = -4x^2 - 81\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 4 < 0\).

\(4x^2 + 81 = 0\)

\(4x^2 = - 81\)

\(x^2 = -\frac{81}{4}\) - корней нет.

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

г) \((5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)\).

\(15x^2 - 5x + 3x - 1 > 4x^2 + 8x - x - 2 \)

\(15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2 \)

\(15x^2 - 2x - 1 - 4x^2 - 7x + 2 = 0 \)

\(11x^2 - 9x + 1 > 0\)

\(y = 11x^2 - 9x + 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 11 > 0\).

\(11x^2 - 9x + 1 = 0\)

\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 =\)

\(= 81 - 44 = 37 > 0\) - 2 корня.

\(x_1 = \frac{9 + \sqrt{37}}{2\cdot11} =\frac{9 + \sqrt{37}}{22}\).

\(x_2 = \frac{9 - \sqrt{37}}{2\cdot11} =\frac{9 - \sqrt{37}}{22}\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty\right)\).

Пояснения:

Сначала каждое неравенство упрощаем, раскрывая скобки, если они есть, затем все компоненты переносим в левую часть неравенства и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.