Упражнение 272 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3\)

\(3x^2 + 40x + 10 + x^2 - 11x - 3 < 0\)

\(4x^2 + 29x + 7 < 0\)

\(y = 4x^2 + 29x + 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).

\(4x^2 + 29x + 7=0\)

\(D = 29^2 - 4\cdot4\cdot7 =\)

\( = 841 - 112 = 729 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {729} = 27\).

\(x_1 = \frac{-29 + 27}{2\cdot4} = \frac{-2}{8} = -\frac14 = -0,25\).

\(x_2 = \frac{-29 - 27}{2\cdot4} = \frac{-56}{8} = -7\).

Ответ: \(x \in (-7; -0,25)\).

б) \(9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6\)

\(9x^2 - x + 9 - 3x^2 - 18x + 6 \ge 0\)

\(6x^2 - 19x + 15 \ge 0\)

\(y = 6x^2 - 19x + 15\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 6 > 0\).

\(6x^2 - 19x + 15 = 0\)

\(D = (-19)^2 - 4\cdot6\cdot15 =\)

\(= 361 - 360 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_1 = \frac{19 + 1}{2\cdot6} = \frac{20}{12} = \frac53 = 1\frac23\).

\(x_2 = \frac{19 - 1}{2\cdot6} = \frac{18}{12} = \frac32 = 1,5\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty; 1,5\right] \cup \left[1\frac23; +\infty\right)\).

в) \(2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)\)

\(2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 18x - 10x - 30 \)

\(2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30 \)

\(2x^2 + \cancel{8x} - 111 - 6x^2 - \cancel{8x} + 30 < 0\)

\(-4x^2 - 81 < 0\)

\(y = -4x^2 - 81\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 4 < 0\).

\(4x^2 + 81 = 0\)

\(4x^2 = - 81\)

\(x^2 = -\frac{81}{4}\) - корней нет.

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

г) \((5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)\).

\(15x^2 - 5x + 3x - 1 > 4x^2 + 8x - x - 2 \)

\(15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2 \)

\(15x^2 - 2x - 1 - 4x^2 - 7x + 2 = 0 \)

\(11x^2 - 9x + 1 > 0\)

\(y = 11x^2 - 9x + 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 11 > 0\).

\(11x^2 - 9x + 1 = 0\)

\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 =\)

\(= 81 - 44 = 37 > 0\) - 2 корня.

\(x_1 = \frac{9 + \sqrt{37}}{2\cdot11} =\frac{9 + \sqrt{37}}{22}\).

\(x_2 = \frac{9 - \sqrt{37}}{2\cdot11} =\frac{9 - \sqrt{37}}{22}\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty\right)\).

---

Пояснения:

Сначала каждое неравенство упрощаем, раскрывая скобки, если они есть, затем все компоненты переносим в левую часть неравенства и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

а) \(y^{3} - 6y = 0\)

\(y(y^{2} - 6) = 0\)

\(y = 0\)   или   \( y^{2} - 6 = 0\)

                      \( y^{2} = 6\)

                      \(y = \pm\sqrt{6}\)

Ответ: \(y = 0,\) \(y = -\sqrt{6}\), \(y = \sqrt{6}.\)

б) \(6x^{4} + 3{,}6x^{2} = 0\)

\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6) = 0\)

\(x^{2} = 0\) или \(6x^{2} + 3{,}6 = 0\)

\(x = 0\)          \(6x^{2} = -3{,}6\)

                    \(x^{2} = -\frac{3,6}{0{,}6}\)

                    \(x^{2} = -0{,}6\) - нет корней.

Ответ: \(x = 0\).

в) \(x^{3} + 3x = 3{,}5x^{2}\)

\(x^{3} - 3{,}5x^{2} + 3x = 0\)

\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3) = 0\)

\(x = 0\)    или

\( x^{2} - 3{,}5x + 3 = 0 \)   \(/\times 2\)

\( 2x^{2} - 7x + 6 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 6\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^{2} - 4\cdot2 \cdot 6 = \)

\(= 49 - 48 = 1.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \( \sqrt{D} =1. \)

\( x_1 = \frac{7 + 1}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2.\)

\( x_2 = \frac{7 - 1}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5.\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 2,\; x = 1{,}5.\)

г) \(x^{3} - 0{,}1x = 0{,}3x^{2}\)

\(x^{3} - 0{,}3x^{2} - 0{,}1x = 0\)

\(x(x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1) = 0\)

\(x = 0\)   или

\( x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1 = 0 \)   \(/\times 10\)

\( 10x^{2} - 3x - 1 = 0 \) 

\(a =10\),   \(b = -3\)  \(c = -1\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^{2} - 4\cdot10\cdot (-1) =\)

\(= 9 + 40 = 49.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7. \)

\( x_1 = \frac{3 + 7}{2\cdot10} =\frac{10}{20} = \frac12 = 0{,}5.\)

\( x_2 = \frac{3 - 7}{2\cdot10} =\frac{-4}{20} = -\frac15 = -0{,}2.\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 0{,}5,\; x = -0{,}2.\)

д) \(9x^{3} - 18x^{2} - x + 2 = 0\)

\(9x^{2}(x - 2) - (x - 2) = 0\)

\((x - 2)(9x^{2} - 1) = 0\)

\((x - 2)(3x - 1)(3x + 1) = 0\)

или  \(x-2=0\)

        \(x = 2\)

или  \(3x - 1=0\)

         \(3x = 1\)

         \(x = \frac13\)

или  \(3x + 1=0\)

         \(3x = -1\)

         \(x = -\frac13\)

Ответ: \(x = 2,\; x = \dfrac{1}{3},\; x = -\dfrac{1}{3}.\)

е) \(y^{4} - y^{3} - 16y^{2} + 16y = 0\)

\(y^{3}(y - 1) - 16y(y - 1) = 0\)

\((y^{3} - 16y)(y - 1) = 0\)

\(y(y^{2} - 16)(y - 1) = 0\)

\(y(y - 4)(y + 4)(y-1) = 0\)

или  \(y = 0,\)

или  \(y - 4 = 0\)

        \(y = 4,\)

или  \(y + 4 = 0\)

        \(y = -4,\)

или  \(y - 1 = 0\)

        \(y = 1.\)

Ответ: \(y = 0,\; y = 1,\)

\(y = 4,\; y = -4.\)

ж) \(p^{3} - p^{2} = p - 1\)

\(p^{3} - p^{2} - p + 1 = 0\)

\(p^{2}(p - 1) - (p - 1) = 0\)

\((p - 1)(p^{2} - 1) = 0\)

\((p - 1)(p - 1)(p + 1)=0\)

\((p - 1)^{2}(p + 1) = 0\)

\(p - 1 = 0\)   или   \(p + 1 = 0\)

\(p = 1\)                   \(p = -1\)

Ответ: \(p = 1,\; p = -1.\)

з) \(x^{4} - x^{2} = 3x^{3} - 3x\)

\(x^{4} - 3x^{3} - x^{2} + 3x = 0\)

\(x^{3}(x - 3) - x(x - 3) = 0\)

\((x^{3} - x)(x - 3) = 0\)

\(x(x^{2} - 1)(x - 3) = 0\)

\(x(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\)

или  \(x = 0,\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1,\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1,\)

или  \(x - 3 = 0\)

        \(x = 3.\)

Ответ: \(x = 3,\; x = 0,\)

\(x = 1,\; x = -1.\)

---

Пояснения:

В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Используются несколько стандартных приёмов.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Если во всех слагаемых есть общий множитель, его можно вынести:

\( a^{3} - 6a = a(a^{2} - 6),\)

\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6),\)

\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3). \)

После этого получается уравнение, у которого в левой части стоит произведение множителей, а в правой - нуль. Затем каждый множитель приравнивается к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

2. Группировка слагаемых.

Иногда удобно разбить выражение на группы. В каждой группе выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения.

3. Формула разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Она позволяет дальше разложить многочлен на множители, как в задачах д), ж), з).

4. Решение квадратных уравнений.

Когда после разложения остаётся квадратный множитель, он решается по формуле:

\( ax^{2} + bx + c = 0,\)

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

Так были найдены корни в пунктах в) и г).

5. Перенос всех членов в одну часть уравнения.

Если в уравнении в правой части стоит выражение, отличное от нуля, то сначала всё переносят в одну сторону, как в пунктах в), г), ж), з). После этого уже применяют разложение на множители.