Упражнение 273 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 91

а) \(2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9\)

\(6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9\)

\(6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x - 9 > 0\)

\(2x^2 - 7x - 9 > 0\)

\(y = 2x^2 - 7x - 9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 - 7x - 9 = 0\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-9) =\)

\(=49 + 72 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {121} = 11\).

\(x_{1} = \dfrac{7 - 11}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1,\)

\(x_{2} = \dfrac{7 + 11}{4} =\dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} = 4,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)\).

б) \((5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13\)

\(5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13\)

\(5x^2 - 3x - 14 - 21x^2 + 11x + 13 < 0\)

\(-16x^2 + 8x - 1 < 0\)

\(y = -16x^2 + 8x - 1 \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -16 < 0\).

\(-16x^2 + 8x - 1  = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(16x^2 - 8x + 1  = 0\)

\((4x - 1)^2 = 0\)

\(4x - 1 = 0\)

\(4x = 1\)

\(x = \frac14\)

\(x = 0,25\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0,25) \cup (0,25; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала каждое неравенство упрощаем, раскрывая скобки, если они есть, затем все компоненты переносим в левую часть неравенства и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.