Упражнение 273 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9\)

\(6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9\)

\(6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x - 9 > 0\)

\(2x^2 - 7x - 9 > 0\)

\(y = 2x^2 - 7x - 9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 - 7x - 9 = 0\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-9) =\)

\(=49 + 72 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {121} = 11\).

\(x_{1} = \dfrac{7 - 11}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1,\)

\(x_{2} = \dfrac{7 + 11}{4} =\dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} = 4,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)\).

б) \((5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13\)

\(5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13\)

\(5x^2 - 3x - 14 - 21x^2 + 11x + 13 < 0\)

\(-16x^2 + 8x - 1 < 0\)

\(y = -16x^2 + 8x - 1 \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -16 < 0\).

\(-16x^2 + 8x - 1  = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(16x^2 - 8x + 1  = 0\)

\((4x - 1)^2 = 0\)

\(4x - 1 = 0\)

\(4x = 1\)

\(x = \frac14\)

\(x = 0,25\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0,25) \cup (0,25; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала каждое неравенство упрощаем, раскрывая скобки, если они есть, затем все компоненты переносим в левую часть неравенства и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

а) \(3x^{3} - x^{2} + 18x - 6 = 0\)

\(x^{2}(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0\)

\((3x - 1)(x^{2} + 6) = 0\)

или  \(3x - 1 = 0 \)

        \(3x = 1 \)

        \(x = \frac{1}{3}\)

или  \(x^{2} + 6 = 0 \)

        \(x^{2} = -6\) — корней нет.

Ответ: \(x = \frac{1}{3}\).

б) \(2x^{4} - 18x^{2} = 5x^{3} - 45x\)

\(2x^{4} - 18x^{2} - 5x^{3} + 45x = 0\)

\((2x^{4} - 5x^{3}) + (-18x^{2} + 45x) = 0\)

\(x^{3}(2x - 5) - 9x(2x - 5) = 0\)

\((x^{3} - 9x)(2x - 5) = 0\)

\(x(x^{2} - 9)(2x - 5) = 0\)

\(x(x - 3)(x + 3)(2x - 5) = 0\)

или  \(x = 0,\)

или  \(x - 3 = 0\)

        \(x = 3,\)

или  \(x + 3 = 0\)

        \(x = -3\)

или  \(2x - 5 = 0\)

        \(2x = 5\)

        \(x = \frac52\)

        \(x = 2,5\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 3,\)

\(x = -3,\; x = 2,5.\)

Пояснения:

1. Метод группировки.

Многочлен разбивается на две части, в каждой из которых есть общий множитель. Например, в пункте а):

\( 3x^{3} - x^{2} = x^{2}(3x - 1),\)

\(18x - 6 = 6(3x - 1). \)

Появляется общий множитель

\((3x - 1)\).

2. Вынесение за скобки.

Если уравнение удалось представить как произведение множителей, то каждый множитель приравнивается к нулю. Используется правило:

\( ab = 0,\) если \(a = 0\) или \( b = 0. \)

3. Формула разности квадратов.

В пункте б) используется разложение: \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3). \]