Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№762 учебника 2023-2026 (стр. 199):
При каких значениях \(b\) и \(c\) парабола \(y=x^2+bx+c\) пересекает оси координат в точках \((0;-3)\) и \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)? В какой ещё точке эта парабола пересекает ось \(x\)?
№762 учебника 2014-2022 (стр. 193):
Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:
а) \(1, 3, 5, 7, 9\);
б) \(0, 2, 4, 6, 8\)?
№762 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Вспомните:
№762 учебника 2014-2022 (стр. 193):
Введите текст
№762 учебника 2023-2026 (стр. 199):
\((0;-3)\) и \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
\[y=x^2+bx+c\]
\(\begin{cases}-3=0^2+b\cdot 0+c,\\ 0=\left(\dfrac12\right)^2+ b\cdot\dfrac12 + c\end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ \dfrac14+ \dfrac12b + c = 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ \dfrac14+ \dfrac12b + (-3) = 0 /\times4\end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ 1+ 2b -12 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ 2b - 11 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ 2b = 11 \end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ b = \dfrac{11}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases}c=-3,\\ b = 5,5 \end{cases}\)
\[y=x^2+5,5x-3\]
\(y = 0\)
\(x^2+5,5x-3=0\) \(/\times2\)
\[2x^2+11x-6=0\]
\(a = 2\), \(b = 11\), \(c = -6\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=11^2-4\cdot 2\cdot (-6)=\)
\(=121+48=169> 0 \) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{169}=13\)
\[x_1=\frac{-11 + 13}{2\cdot2} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[x_2=\frac{-11 - 13}{2\cdot2} = \frac{-24}{4}=-6 \]
\((-6;0)\) - еще одна точка пересечения с осью \(x\).
Пояснения:
Точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0;c)\). По условию эта точка равна \((0;-3)\), значит \(c=-3\).
Точка пересечения с осью \(x\) имеет ординату \(0\), поэтому подставляем \(x=\frac{1}{2}\) и \(y=0\) в уравнение параболы, чтобы найти \(b\).
После подстановки получаем линейное уравнение относительно \(b\) и находим \(b=5,5\).
Чтобы найти вторую точку пересечения с осью \(x\), решаем квадратное уравнение \(x^2+\frac{11}{2}x-3=0\).
Корни равны \(\frac{1}{2}\) и \(-6\). Один из них уже известен, второй — искомая точка \((-6;0)\).
Квадратное уравнение:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
№762 учебника 2014-2022 (стр. 193):
а)
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \]
б)
\[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96 \]
Ответ:
а) \(120\);
б) \(96\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Правило произведения.
2. Размещения без повторений.
Пояснение к пункту а).
Даны цифры: \(1,3,5,7,9\). Все они ненулевые, поэтому любую можно ставить на первое место.
Для первой цифры:
\[ 5 \text{ вариантов} \]
Для второй:
\[ 4 \text{ варианта} \]
Для третьей:
\[ 3 \text{ варианта} \]
Для четвёртой:
\[ 2 \text{ варианта} \]
Всего:
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \]
Пояснение к пункту б).
Даны цифры: \(0,2,4,6,8\).
Важно: число должно быть четырёхзначным, поэтому первая цифра не может быть равна 0.
Для первой цифры можно выбрать только из \(2,4,6,8\):
\[ 4 \text{ варианта} \]
После выбора первой цифры остаётся 4 цифры (включая 0).
Для второй цифры:
\[ 4 \text{ варианта} \]
Для третьей:
\[ 3 \text{ варианта} \]
Для четвёртой:
\[ 2 \text{ варианта} \]
Всего:
\[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96 \]
Таким образом, учитывая запрет на ведущий ноль, получаем 96 чисел.
Вернуться к содержанию учебника