Упражнение 764 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость легкового автомобиля равна \(x\) км/ч (\(x >0\)), скорость грузового — \(y\) км/ч (\(y >0\)). Тогда:

\[2x-3y=10\]

Новая скорость легкового автомобиля:

\(x - 0,25 x = 0{,}75x\).

Новая скорость грузового автомобиля:

\(y - 0,2y = 0,8y\)

Тогда:

\[5\cdot0,8y-3\cdot 0{,}75x=20\]

\[4y-2,25x=20\]

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases}2x - 3y = 10, /\times4\\ 4y-2,25x=20  /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}8x - 12y = 40,\\ 12y-6,75x=60 \end{cases}\)  \((+)\)

1) \((8x - 12y) + (12y - 6,75x) = 40 + 60\)

\(8x - \cancel{12y} + \cancel{12y} - 6,75x =100\)

\(1,25x = 100\)

\(x = \frac{100}{1,25}\)

\(x = \frac{10000}{125}\)

\(x = 80\)

2) \(2\cdot80 - 3y = 10\)

\(160 - 3y = 10\)

\(-3y = 10 - 160\)

\(-3y = -150\)

\(y = \frac{-150}{-3}\)

\(y = 50\)

Ответ: скорость легкового автомобиля равна \(80\) км/ч, а грузового - \(50\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

\[s=vt\]

Если скорость \(x\) уменьшили на \(25\) %,то новая скорость равна \(0{,}75x\).

Если скорость \(y\) уменьшили на \(20\) %, то новая скорость равна \(0,8y\).

1) По условию «за \(2\) ч легковой проехал на \(10\) км больше, чем грузовой за \(3\) ч» записываем через расстояния:

\(2x-3y=10.\)

2) После изменения скоростей: легковой едет со скоростью \(0{,}75x\), грузовой — \(0,8y\). И по условию грузовой автомобиль проедет за \(5\) ч на \(20\) км больше, чем легковой за \(3\) ч, тогда

\[5\cdot 0,8y - 3\cdot 0{,}75x=20\]

или упростив имеем:

\[4y-2,25x=20\]

Составляем систему из двух уравнений и решаем ее методом сложения. В результате получаем скорость легкового автомобиля равную \(80\) км/ч, а грузового - \(50\) км/ч.

а)

\[ 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \]

б)

\[ 1 \cdot 4 \cdot 3 = 12 \]

Ответ:

а) \(24\);

б) \(12\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Признак чётности: число чётное, если последняя цифра чётная.

2. Признак делимости на 5: число кратно 5, если последняя цифра равна 0 или 5.

3. Правило произведения.

4. Размещения без повторений.

Пояснение к пункту а).

Число должно быть чётным, значит последняя цифра — одна из чётных цифр: \(2\) или \(4\).

Для последней цифры:

\[ 2 \text{ варианта} \]

После выбора последней цифры остаётся 4 цифры для первой позиции:

\[ 4 \text{ варианта} \]

Для второй позиции остаётся 3 цифры:

\[ 3 \text{ варианта} \]

Итого:

\[ 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \]

Пояснение к пункту б).

Число кратно 5, если оканчивается на 5 (так как 0 нет среди цифр).

Последняя цифра фиксирована:

\[ 1 \text{ вариант (5)} \]

Для первой цифры остаётся 4 варианта (из \(1,2,3,4\)):

\[ 4 \text{ варианта} \]

Для второй цифры остаётся 3 варианта:

\[ 3 \text{ варианта} \]

Итого:

\[ 1 \cdot 4 \cdot 3 = 12 \]

Таким образом, получаем 24 чётных числа и 12 чисел, кратных 5.