Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№759 учебника 2023-2026 (стр. 198):
Принадлежит ли точка пересечения прямых \(-2x+y=11\) и \(3x+2y=1\) прямой:
а) \(10x-3y=-45;\)
б) \(-7x+9y=65?\)
№759 учебника 2014-2022 (стр. 193):
Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?
№759 учебника 2023-2026 (стр. 198):
Вспомните:
№759 учебника 2014-2022 (стр. 193):
Введите текст
№759 учебника 2023-2026 (стр. 198):
\(\begin{cases} -2x+y=11 \\ 3x+3y=1\end{cases}\)
\(\begin{cases} y=11+2x \\ 3x+2(11+2x)=1\end{cases}\)
1) \(3x+3(11+2x)=1\)
\(3x + 22 + 4x = 1\)
\(7x + 22 = 1\)
\(7x = 1 - 22\)
\(7x = -21\)
\(x = -\frac{21}{7}\)
\(x = -3\)
\[y=11+2\cdot(-3) = 11 - 6 = 5\]
\((-3;5)\) - точка пересечения прямых.
а) \(10x-3y=-45\)
\(10\cdot(-3)-3\cdot 5=-45\)
\(-30-15=-45\)
\(-45 = -45\) - верно.
Точка \((-3;5)\) принадлежит прямой \(10x-3y=-45\).
б) \(-7x+9y=65\)
\(-7\cdot(-3)+9\cdot 5=65\)
\(21+45=65\)
\(66 = 65\) - неверно.
Точка \((-3;5)\) принадлежит прямой \(-7x+9y=65\).
Пояснения:
Сначала находим точку пересечения двух прямых, решая систему уравнений методом подстановки.
Выразим \(y\) из первого уравнения:
\[y=11+2x.\]
Подставим во второе уравнение, решив которое найдем, что \(x = -3\), тогда
\[y=11+2\cdot(-3) = 11 - 6 = 5.\]
Значит, точка \((-3;5)\) - точка пересечения прямых \(-2x+y=11\) и \(3x+2y=1\).
Чтобы проверить, принадлежит ли точка прямой, нужно подставить её координаты в уравнение прямой.
Если равенство выполняется — точка принадлежит прямой; если нет — не принадлежит.
№759 учебника 2014-2022 (стр. 193):
\[ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 = 27907200 \]
Ответ: \(27907200\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Правило произведения:
Если действие выполняется по шагам, то общее число способов равно произведению количества вариантов на каждом шаге.
2. Размещения без повторений:
Если нужно разместить \(k\) различных объектов по \(n\) различным местам, то число способов:
\[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots (n-k+1) \]
Рассуждение:
Есть 20 различных столов и 6 студентов (считаем их различными).
Первый студент может выбрать любой из 20 столов:
\[ 20 \text{ способов} \]
Второй студент — любой из оставшихся 19:
\[ 19 \text{ способов} \]
Третий — из 18, затем 17, 16 и 15.
По правилу произведения:
\[ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \]
Выполним вычисление:
\[ 20 \cdot 19 = 380 \]
\[ 380 \cdot 18 = 6840 \]
\[ 6840 \cdot 17 = 116280 \]
\[ 116280 \cdot 16 = 1860480 \]
\[ 1860480 \cdot 15 = 27907200 \]
Таким образом, существует 27907200 способов рассадить студентов.
Вернуться к содержанию учебника