Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№766 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(160\) км. Из \(A\) в \(B\) выехал велосипедист, и в то же время из \(B\) в \(A\) выехал мотоциклист. Их встреча произошла через \(2\) ч, а через \(30\) мин после встречи велосипедисту осталось проехать в \(11\) раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?
№766 учебника 2014-2022 (стр. 194):
Решите систему уравнений:
а)
\[ \begin{cases} 3y-2x=10,\\ 7x+5y=27; \end{cases} \]
б)
\[ \begin{cases} 0{,}4x-0{,}2y=0{,}4,\\ x+11y=12{,}5. \end{cases} \]
№766 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Вспомните:
№766 учебника 2014-2022 (стр. 194):
Введите текст
№766 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Пусть скорость велосипедиста равна \(x\) км/ч (\(x > 0\)), а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч (\(y > 0\)). Тогда:
\(2x+2y=160\) \(/ : 2\)
\[x+y=80\]
Через \(0{,}5\) ч после встречи велосипедисту осталось проехать:
\(160-(2x+0{,}5x)=160-2{,}5x\).
А мотоциклисту:
\(160-(2y+0{,}5y)=160-2{,}5y\).
Тогда:
\(160-2{,}5x=11(160-2{,}5y)\)
\(160-2{,}5x=1760-27{,}5y\)
\(-2,5x + 27,5y = 1760 - 160\)
\(-2,5x + 27,5y =1600\) \(/\times2\)
\(-5x + 55y =3200\) \(/ : 5\)
\(-5x + 55y =3200\)
\(-x + 11y = 640\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x+y=80, \\ -x + 11y = 640 \end{cases}\) \((+)\)
1) \((x+y) + (-x + 11y) = 80 + 640\)
\(\cancel x+y - \cancel x + 11y = 720\)
\(12y = 720\)
\(y = \frac{720}{12}\)
\(y = 60\)
2) \(x+60=80\)
\(x = 80 - 60\)
\(x = 20\)
Ответ: скорость велосипедиста равна \(20\) км/ч, скорость мотоциклиста - \(60\) км/ч.
Пояснения:
Используемые формулы:
\[s=vt\]
1) Так как они выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через \(2\) часа, то сумма расстояний, пройденных ими за это время, равна \(160\) км:
\[2x+2y=160.\]
Делим на \(2\) и получаем связь скоростей:
\[v+u=80.\]
2) Через \(30\) минут (\(0{,}5\) часа) после встречи каждый проедет ещё по \(0{,}5\) часа со своей скоростью.
Велосипедист к этому моменту проедет всего \(2x+0{,}5x=2{,}5x\), значит ему останется:
\[160-2{,}5x.\]
Мотоциклист к этому моменту проедет всего \(2y+0{,}5y=2{,}5y\), значит ему останется:
\[160-2{,}5y.\]
По условию велосипедисту осталось проехать в \(11\) раз больше, чем мотоциклисту:
\[160-2{,}5x=11(160-2{,}5y).\]
3) Составляем систему из двух полученных уравнений и решаем ее методом подстановки. И определяем: скорость мотоциклиста \(60\) км/ч, скорость велосипедиста \(20\) км/ч.
№766 учебника 2014-2022 (стр. 194):
а)
\[ 3y-2x=10 \]
\[ 3y=2x+10 \]
\[ y=\frac{2x+10}{3} \]
\[ 7x+5\cdot \frac{2x+10}{3}=27 \]
\[ 21x+10x+50=81 \]
\[ 31x+50=81 \]
\[ 31x=31 \]
\[ x=1 \]
\[ y=\frac{2\cdot 1+10}{3}=4 \]
\[ (1;4) \]
б)
\[ 0{,}4x-0{,}2y=0{,}4 \]
\[ 4x-2y=4 \]
\[ 2x-y=2 \]
\[ y=2x-2 \]
\[ x+11(2x-2)=12{,}5 \]
\[ x+22x-22=12{,}5 \]
\[ 23x-22=12{,}5 \]
\[ 23x=34{,}5 \]
\[ x=1{,}5 \]
\[ y=2\cdot 1{,}5-2=1 \]
\[ (1{,}5;1) \]
Ответ:
а) \((1;4)\);
б) \((1{,}5;1)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Метод подстановки.
2. Приведение дробей к общему знаменателю.
3. Умножение уравнения на число для избавления от дробей.
Пояснение к пункту а).
Из первого уравнения выразили \(y\):
\[ y=\frac{2x+10}{3} \]
Подставили во второе уравнение и избавились от знаменателя, умножив на 3:
\[ 21x+10x+50=81 \]
Решили линейное уравнение и нашли \(x=1\).
Подставили обратно и получили \(y=4\).
Пояснение к пункту б).
Сначала избавились от десятичных дробей, умножив первое уравнение на 10:
\[ 4x-2y=4 \]
Упростили:
\[ 2x-y=2 \]
Выразили \(y=2x-2\) и подставили во второе уравнение.
Решили полученное уравнение:
\[ 23x=34{,}5 \]
Нашли \(x=1{,}5\), затем \(y=1\).
Таким образом, обе системы имеют единственное решение.
Вернуться к содержанию учебника