Упражнение 400 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ (x - 10)^2 + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 9\) - окружность с центром \((0; 0)\) и \(r = 3\).

\((x - 10)^2 + y^2 = 16\) - окружность с центром \((10; 0)\) и \(r = 4\).

Ответ: система не имеет решений.

Пояснения:

Уравнение вида \(x^2 + y^2 = r^2\) задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом \(r\).

Уравнение вида

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

задаёт окружность с центром в точке \((a, b)\).

Графическое (схематическое) объяснение:

Первая окружность имеет центр в начале координат и небольшой радиус \(3\). Вторая окружность расположена значительно правее, с центром в точке \((10,0)\) и радиусом \(4\). Расстояние между центрами больше суммы радиусов, поэтому окружности расположены раздельно и не имеют общих точек. Следовательно, система уравнений не имеет ни одного решения.

а) \( (x-1)(y-1)=0. \)

б) \( (x+1)(y-x)=0. \)

в) \( (x+2)(x-1)=0. \)

г) \( (y-2)(y+1)=0. \)

Пояснения:

Если график — объединение двух прямых \(L_1=0\) и \(L_2=0\), то его задаёт уравнение произведения: \[ L_1\cdot L_2=0, \] поскольку произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулём является хотя бы один из множителей.

По рисункам считываем координаты пересечений с осями:

а) Прямые: вертикальная \(x=1\) и горизонтальная \(y=1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x-1 = 0\) и \(y -1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x-1)(y-1)=0. \)

б) Прямые: вертикальная \(x=-1\) и наклонная \(y=x\), так как эта прямая, у которой абсцисса и ордината для каждой точки совпадают, которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

 \(x+1 = 0\) и \(y - x = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\( (x+1)(y-x)=0. \)

в) Прямые: две вертикальные \(x=-2\) и \(x=1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать 

\(x+2 = 0\) и \(x-1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\((x+2)(x-1)=0. \)

г) Прямые: две горизонтальные \(y=2\) и \(y=-1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

 \(y-2 = 0\) и \(y +1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\( (y-2)(y+1)=0. \)