Упражнение 259 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость течения равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{70}{10 + x} = \frac{30}{10 - x}\) \(/\times (10+x)(10-x)\)

ОДЗ: \(10 + x \ne 0\)  и  \(10 - x \ne 0\)

          \(x \ne -10\)          \(x \ne 0\)

\( 70(10 - x) = 30(10 + x) \)

\( 700 - 70x = 300 + 30x \)

\(-70x - 30 x = 300 - 700\)

\(-100x = -400\)

\(x = \frac{-400}{-100}\)

\(x = 4\)

Ответ: скорость течения равна \(4\) км/ч.

Пояснения:

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) - скорость течения реки и согласно условию составляем рациональное уравнение, учитывая то, что время рассчитывается по формуле \(t = \frac{S}{v}\), где \(S\) - пройденный путь, \(v\) - скорость движения .

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем линейное уравнение, корень которого соответствует скорости течения реки.

а) \(\sqrt[8]{x-2}\);

\(x-2 \ge 0\)

\(x \ge 2\)

Ответ: \(x\in[2;+ \infty).\)

б) \(\sqrt[4]{\dfrac{9-x}{5}}\);

\(\dfrac{9-x}{5} \ge 0\)

\(9-x \ge 0\)

\(-x \ge -9\)

\(x \le 9\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 9].\)

в) \(\sqrt[3]{x+5}\);

\(x+5 \in \mathbb{R}\)

любое \(x\)

Ответ: \(x\in(-\infty; +\infty).\)

г) \(\sqrt[8]{3a-5}\);

\(3a-5 \ge 0\)

\(3a \ge 5\)

\(a \ge \frac{5}{3}\)

\(a \ge1 \frac{2}{3}\)

Ответ: \(x\in\bigg[1 \frac{2}{3};+ \infty\bigg).\)

д) \(\sqrt[4]{-5y+6}\);

\(-5y+6 \ge 0\)

\(-5y \ge -6\)

\(y \le \frac{6}{5}\)

\(y \le 1,2\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 1,2].\)

е) \(\sqrt[12]{\dfrac{6b-9}{11}}\)

\(\dfrac{6b-9}{11} \ge 0\)

\(6b-9 \ge 0\)

\(6b \ge 9\)

\(b \ge \frac{3}{2}\)

\(b \ge 1,5\)

Ответ: \(x\in[1,5;+ \infty).\)

Пояснения:

Основные правила:

1. Для корня чётной степени:

\( \sqrt[2n]{A} \) существует, если  \(A \ge 0 \)

2. Для корня нечётной степени:

\( \sqrt[2n+1]{A}\) существует при любых \(A \)

Разбор:

а) Корень восьмой степени — чётный, значит подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \]

б) Четвёртый корень — чётный, значит дробь должна быть неотрицательной. Так как знаменатель \(5 > 0\), достаточно рассмотреть числитель:

\[ 9-x \ge 0 \Rightarrow x \le 9 \]

в) Кубический корень (нечётный) существует при любых значениях выражения, поэтому ограничений нет.

г) Восьмой корень — чётный:

\[ 3a-5 \ge 0 \Rightarrow a \ge \frac{5}{3} \]

д) Четвёртый корень — чётный:

\[ -5y+6 \ge 0 \]

При делении на отрицательное число знак меняется:

\[ y \le \frac{6}{5} \]

е) Двенадцатый корень — чётный:

\[ \frac{6b-9}{11} \ge 0 \]

Так как \(11 > 0\), получаем:

\[ 6b-9 \ge 0 \Rightarrow b \ge \frac{3}{2} \]

Итак, мы использовали правило: подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным, а для нечётного корня ограничений нет.