Упражнение 261 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 87

Составим уравнение:

\(\frac1x + \frac{1}{x - 10} = \frac{1}{12}\) \(/\times 12x(x - 10)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x - 10 = 0\)

                          \(x \ne 0\)

\(12(x-10) + 12x = x(x - 10)\)

\(12x - 120 + 12x = x^2 - 10x\)

\(24x - 120 = x^2 - 10x\)

\(x^2 - 10x - 24x + 120 = 0\)

\(x^2 - 34x + 120 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -34\),  \(c = 120\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-34)^2 - 4\cdot1\cdot120 = \)

\( = 1156 - 480 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 26. \)

\(x_1 = \frac{34 + 26}{2\cdot1}=\frac{60}{2} = 30. \)

\(x_2 = \frac{34 - 26}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4. \)

1) Если \(x = 30\), то

\(30 - 10 = 20\)

\(30\) ч - время, за которое выполнит всю работу 1 слесарь.

\(20\) ч - время, за которое выполнит всю работу 2 слесарь.

2) Если \(x = 4\), то

\(4 - 10 = -6\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первый слесарь — 30 ч, второй — 20 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Пусть первый слесарь выполняет всю работу за \(x\) ч. Тогда, учитывая то, что на выполнение половины работы первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму, всю работу второй слесарь выполнит за \(x - 10\) ч.

По условию задачи составляем рациональное уравнение через производительность, учитывая то, что если исполнитель делает всю работу за \(t\) ч, то за 1 ч он выполняет \(\frac{1}{t}\) работы.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Оба корня уравнения положительные числа, то есть каждое из них может соответствовать времени, за которое первый слесарь выполнит всю работу, но меньший корень все равно не подходит, так как время, за которое второй слесарь выполнит всю работу получается отрицательным числом, чего не может быть.