Упражнение 261 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac1x + \frac{1}{x - 10} = \frac{1}{12}\) \(/\times 12x(x - 10)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x - 10 = 0\)

                          \(x \ne 0\)

\(12(x-10) + 12x = x(x - 10)\)

\(12x - 120 + 12x = x^2 - 10x\)

\(24x - 120 = x^2 - 10x\)

\(x^2 - 10x - 24x + 120 = 0\)

\(x^2 - 34x + 120 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -34\),  \(c = 120\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-34)^2 - 4\cdot1\cdot120 = \)

\( = 1156 - 480 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 26. \)

\(x_1 = \frac{34 + 26}{2\cdot1}=\frac{60}{2} = 30. \)

\(x_2 = \frac{34 - 26}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4. \)

1) Если \(x = 30\), то

\(30 - 10 = 20\)

\(30\) ч - время, за которое выполнит всю работу 1 слесарь.

\(20\) ч - время, за которое выполнит всю работу 2 слесарь.

2) Если \(x = 4\), то

\(4 - 10 = -6\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первый слесарь — 30 ч, второй — 20 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Пусть первый слесарь выполняет всю работу за \(x\) ч. Тогда, учитывая то, что на выполнение половины работы первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму, всю работу второй слесарь выполнит за \(x - 10\) ч.

По условию задачи составляем рациональное уравнение через производительность, учитывая то, что если исполнитель делает всю работу за \(t\) ч, то за 1 ч он выполняет \(\frac{1}{t}\) работы.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Оба корня уравнения положительные числа, то есть каждое из них может соответствовать времени, за которое первый слесарь выполнит всю работу, но меньший корень все равно не подходит, так как время, за которое второй слесарь выполнит всю работу получается отрицательным числом, чего не может быть.

а) \(6<7\)

\(\sqrt[3]{6}<\sqrt[3]{7}\)

\(\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{7}<0\)

Ответ: минус.

б) \(\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}\)

\(\sqrt[5]{\dfrac{1}{2}}>\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}}\)

\(\sqrt[5]{\dfrac{1}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}}>0\)

Ответ: плюс.

в) \(0{,}99<1\)

\(\sqrt[4]{0{,}99}<\sqrt[4]{1}\)

\(\sqrt[4]{0{,}99}<1\)

\(1-\sqrt[4]{0{,}99}>0\)

Ответ: плюс.

г) \(0{,}28=\dfrac{28}{100}=\dfrac{7}{25}\)

\(\dfrac{2}{7}=\dfrac{50}{175},\quad \dfrac{7}{25}=\dfrac{49}{175}\)

\(\dfrac{7}{25}<\dfrac{2}{7}\)

\(\sqrt[6]{0{,}28}<\sqrt[6]{\dfrac{2}{7}}\)

\(\sqrt[6]{0{,}28}-\sqrt[6]{\dfrac{2}{7}}<0\)

Ответ: минус.

Пояснения:

Используемые правила:

1. Если \(a > b\), то \(\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}\)

Это верно для корней нечётной степени при любых сравниваемых числах и для корней чётной степени при неотрицательных подкоренных выражениях.

2. \(a-b > 0,\text{ если } a > b\)

3. \(a-b > 0,\text{ если } a < b\)

Теперь разберём каждое задание.

а) Сравниваем подкоренные выражения:

\[6<7\]

Кубический корень сохраняет знак неравенства, значит:

\[\sqrt[3]{6}<\sqrt[3]{7}\]

Следовательно, из меньшего числа вычитают большее, поэтому разность отрицательная.

б) Сначала сравним дроби:

\[\frac{1}{2}>\frac{1}{3}\]

Корень пятой степени — это корень нечётной степени, он сохраняет знак неравенства:

\[\sqrt[5]{\frac{1}{2}}>\sqrt[5]{\frac{1}{3}}\]

Значит, из большего числа вычитают меньшее, поэтому разность положительная.

в) Представим число \(1\) в виде корня четвёртой степени:

\[1=\sqrt[4]{1}\]

Так как

\[ 0 <0{,}99 < 1,\]

то

\[\sqrt[4]{0{,}99}<\sqrt[4]{1}=1.\]

Следовательно, разность \(1-\sqrt[4]{0{,}99}\) положительная.

г) Нужно сравнить числа \(0{,}28\) и \(\dfrac{2}{7}\).

Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

\[0{,}28=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}.\]

Сравним дроби \(\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{2}{7}\):

\[\frac{7}{25}=\frac{49}{175},\quad \frac{2}{7}=\frac{50}{175}.\]

Значит,

\[\frac{7}{25}<\frac{2}{7}.\]

Корень шестой степени сохраняет порядок для неотрицательных чисел, поэтому:

\[\sqrt[6]{0{,}28}<\sqrt[6]{\frac{2}{7}}.\]

Следовательно, разность отрицательная.