Упражнение 260 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть более быстрая швея выполняет заказ за \(x\) дней.

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6} \)  \(/\times 6x(x+5)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x + 5 \ne 0\)

                          \(x \ne 0\)

\(6(x+5) + 6x = x(x+5)\)

\(6x + 30 + 6x = x^2 + 5x\)

\(12x + 30 = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 12x - 30 = 0\)

\(x^2 -7x - 30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -30\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-30) =\)

\(=49 + 120 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{D} = 13. \)

\(x_1 = \frac{7 + 13}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10. \)

\(x_2 = \frac{7 - 13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2} = -3 \) - не удовлетворяет условию.

1) \(10\) (дн.) - время, за которое выполнит заказ 1 швея.

2) \(10 + 5 = 15\) (дн.) - время, за которое выполнит заказ 2 швея.

Ответ: первая швея — 10 дней, вторая — 15 дней.

Пояснения:

Решение задачи основано на использовании производительности труда: если исполнитель делает всю работу за \(t\) дней, то за 1 день он выполняет \(\frac{1}{t}\) работы.

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим переменную \(x\) - время работы одной швеи и согласно условию составляем рациональное уравнение через производительность.

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Отрицательный корень отбрасываем, так как время не может быть отрицательным числом.

а) \(23 < 27\)

\(\sqrt[3]{23} < \sqrt[3]{27}\)

б) \(-5 < -4\)

\(\sqrt[3]{-5} < \sqrt[3]{-4}\)

в) \(-0{,}1 < 0{,}01\)

\(\sqrt[3]{-0{,}1} < \sqrt[3]{0{,}01}\)

Пояснения:

Основные правила:

1. Кубический корень — возрастающая функция:

\[ a < b \Rightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b} \]

2. Кубический корень определён для любых чисел (в том числе отрицательных).

Разбор:

а) Так как \(23 < 27\), то и их кубические корни сохраняют это неравенство.

б) Среди отрицательных чисел \(-5 < -4\), значит и кубические корни сохраняют порядок.

в) Отрицательное число всегда меньше положительного, значит кубический корень из отрицательного числа меньше кубического корня из положительного.

Таким образом, при сравнении кубических корней достаточно сравнить подкоренные выражения.