Упражнение 227 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^{2} - 1)(x^{2} + 1) - 4(x^{2} - 11) = 0\)

\(x^{4} - 1 - 4x^{2} + 44 = 0\)

\(x^{4} - 4x^{2} + 43 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 4t + 43 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 43\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot 43 =\)

\(=16 - 172 = -156 < 0\) - действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

б) \(3x^{2}(x - 1)(x + 1) - 10x^{2} + 4 = 0\)

\(3x^{2}(x^{2} - 1) - 10x^{2} + 4 = 0\)

\(3x^{4} - 3x^{2} - 10x^{2} + 4 = 0\)

\(3x^{4} - 13x^{2} + 4 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\)

\(3t^{2} - 13t + 4 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\( = (-13)^{2} - 4\cdot 3 \cdot 4 =\)

\(=169 - 48 = 121 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 11.\)

\(t_{1} = \dfrac{13 + 11}{2\cdot3} = \dfrac{24}{6} = 4.\)

\(t_{2} = \dfrac{13 - 11}{2\cdot3} = \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{3}.\)

1) Если \(t = 4\), то

\(x^{2} = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

2) Если \(t = \dfrac{1}{3}\), то

\(x^{2} = \dfrac{1}{3}\)

\(x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

\(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ответ: \(x = \pm 2,\; x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Пояснения:

Используемые приемы:

1) Перемножение многочленов (разность квадратов):

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.\]

2) Биквадратное уравнение вида

\[ax^{4} + bx^{2} + c = 0\]

решают заменой переменной

\(x^{2} = t\), тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2\);

получаем квадратное уравнение

\[at^{2} + bt + c = 0.\]

3) Для квадратного уравнения используем дискриминант:

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)

Если \(D < 0\), действительных корней нет. Если найденное \(t < 0\), то уравнение \(x^{2} = t\) тоже не имеет действительных решений.

Пояснение к пункту а).

Сначала используем формулу разности квадратов:

\((x^{2} - 1)(x^{2} + 1) = x^{4} - 1.\)

Затем раскрываем вторую скобку:

\(4(x^{2} - 11) = 4x^{2} - 44\),

учитываем знак «минус» перед ней и приводим подобные члены: получаем биквадратное уравнение

\(x^{4} - 4x^{2} + 43 = 0\).

После замены \(t = x^{2}\) имеем квадратное уравнение

\(t^{2} - 4t + 43 = 0\)

с отрицательным дискриминантом. Значит, ни для какого действительного \(t\) равенство не выполняется, и, следовательно, исходное уравнение действительных корней не имеет.

Пояснение к пункту б).

Замечаем произведение

\((x - 1)(x + 1)\) и заменяем его на \(x^{2} - 1\). После раскрытия скобок получаем выражение только с чётными степенями \(x\):

\(3x^{4} - 13x^{2} + 4 = 0\) — это биквадратное уравнение.

Делаем замену \(t = x^{2}\) и решаем квадратное уравнение

\(3t^{2} - 13t + 4 = 0\) по формуле. Дискриминант равен \(121\), поэтому получаем два значения \(t\): \(4\) и \(\tfrac{1}{3}\).

Далее возвращаемся к \(x\): решаем уравнения \(x^{2} = 4\) и \(x^{2} = \tfrac{1}{3}\). Каждое даёт по два корня, так как \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\) являются решениями.

а) \( \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}=\frac{2(m^2 - 4)}{ (m+2)(m+4)}=\)

\(=\frac{2(m - 2)\cancel{(m + 2)}}{ \cancel{(m+2)}(m+4)}=\frac{2(m - 2)}{m+4}=\)

\(=\frac{2m - 4}{m+4}\)

\(m^2 + 6m + 8=0\)

\(a= 1\),  \(b= 6\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 -4ac = 6^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\(=36 -32 = 4\),    \(\sqrt D = 2\).

\(m_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_1=\frac{-6 + 2}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(m_2=\frac{-6 - 2}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

\(m^2 + 6m + 8 = (m+2)(m+4)\)

Ответ: \(\frac{2m - 4}{m+4}\).

б) \( \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}=\)

\(= \frac{(m-2)(2m - 1)}{n(m - 2) - 3(m - 2)}=\)

\(=\frac{\cancel{(m-2)}(2m - 1)}{\cancel{(m - 2)} (n - 3)}=\frac{2m - 1}{n - 3}\)

\(2m^2 - 5m + 2=0\)

\(a= 2\),  \(b= -5\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =(-5)^2 -4\cdot2\cdot2 =\)

\(=25 - 16 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\(m_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_1 = \frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac84 = 2\).

\(m_2 = \frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac24 = \frac12\).

\(2m^2 - 5m + 2=2(m-2)(m-\frac12)=\)

\(=(m-2)(2m - 1)\).

Ответ: \(\frac{2m - 1}{n - 3}\).

Пояснения:

Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Использованные приемы:

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

- Разложение квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) на множители по его корням \(x_1\) и \(x_2\):

\(ax^2 + bx + c=a(x - x_1)(x - _2)\).

При необходимости коэффициент \(a\) можно внести в какую-нибудь из скобок (распределительное свойство).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb =k(a + b)\).

- Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). При \(D>0\) уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

В пункте а) использовали формулу разности квадратов в числителе и разложение квадратного трёхчлена на множители по его корням в знаменателе.

В пункте б) использовали разложение квадратного трёхчлена на множители по его корням в числителе и способ группировки при разложении многочлена на множители в знаменателе.