Упражнение 228 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 78

а) \(x^{5} + x^{4} - 6x^{3} - 6x^{2} + 5x + 5 =0\)

\( x^{4}(x + 1) - 6x^{2}(x + 1) + 5(x + 1) =0\)

\((x + 1)(x^{4} - 6x^{2} + 5) = 0\)

или \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

или \(x^{4} - 6x^{2} + 5 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\):

\(t^{2} - 6t + 5 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\( = (-6)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 5 =\)

\(=36 - 20 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{6 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5.\)

\(t_{2} = \dfrac{6 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1.\)

1) Если \(t = 5\), то

\(x^{2} = 5\)

\(x = \pm\sqrt{5}.\)

2) Если \(t = 1\), то

\(x^{2} = 1 \)

\(x = \pm \sqrt 1\)

\(x = \pm 1.\)

Ответ: \(x = -\sqrt{5},\; -1,\; 1,\; \sqrt{5}.\)

б) \(x^{5} - x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} - 3x + 3 =0\)

\(x^{4}(x - 1) - 2x^{2}(x - 1) - 3(x - 1)=0\)

\( (x - 1)(x^{4} - 2x^{2} - 3)=0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x^{4} - 2x^{2} - 3 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 2t - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(= (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{2 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

\(t_{2} = \dfrac{2 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 3\), то

\(x^{2} = 3\)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = -\sqrt{3},\; 1,\; \sqrt{3}.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.

2. Далее в обоих случаях возникли биквадратные уравнения (содержат только степени \(x^{4}, x^{2}\)). Такие уравнения удобно решать заменой переменной:

\(t = x^{2},\) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2\).

После замены получаем обычное квадратное уравнение по \(t\), которое решается через дискриминант:

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)

3. Каждое найденное значение \(t\) даёт уравнение \(x^{2} = t\). Если \(t > 0\), получаем два корня \(x = \pm\sqrt{t}\). Если \(t = 0\), корень один, если \(t < 0\), действительных решений нет.