Упражнение 228 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{5} + x^{4} - 6x^{3} - 6x^{2} + 5x + 5 =0\)

\( x^{4}(x + 1) - 6x^{2}(x + 1) + 5(x + 1) =0\)

\((x + 1)(x^{4} - 6x^{2} + 5) = 0\)

или \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

или \(x^{4} - 6x^{2} + 5 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\):

\(t^{2} - 6t + 5 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\( = (-6)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 5 =\)

\(=36 - 20 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{6 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5.\)

\(t_{2} = \dfrac{6 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1.\)

1) Если \(t = 5\), то

\(x^{2} = 5\)

\(x = \pm\sqrt{5}.\)

2) Если \(t = 1\), то

\(x^{2} = 1 \)

\(x = \pm \sqrt 1\)

\(x = \pm 1.\)

Ответ: \(x = -\sqrt{5},\; -1,\; 1,\; \sqrt{5}.\)

б) \(x^{5} - x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} - 3x + 3 =0\)

\(x^{4}(x - 1) - 2x^{2}(x - 1) - 3(x - 1)=0\)

\( (x - 1)(x^{4} - 2x^{2} - 3)=0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x^{4} - 2x^{2} - 3 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 2t - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(= (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\(t_{1} = \dfrac{2 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

\(t_{2} = \dfrac{2 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 3\), то

\(x^{2} = 3\)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = -\sqrt{3},\; 1,\; \sqrt{3}.\)

---

Пояснения:

1. В обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.

2. Далее в обоих случаях возникли биквадратные уравнения (содержат только степени \(x^{4}, x^{2}\)). Такие уравнения удобно решать заменой переменной:

\(t = x^{2},\) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2\).

После замены получаем обычное квадратное уравнение по \(t\), которое решается через дискриминант:

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)

3. Каждое найденное значение \(t\) даёт уравнение \(x^{2} = t\). Если \(t > 0\), получаем два корня \(x = \pm\sqrt{t}\). Если \(t = 0\), корень один, если \(t < 0\), действительных решений нет.

а) \(\dfrac{x+4}{x-1} - \dfrac{37x-12}{4x^2 - 3x - 1}=\)

\(=\dfrac{x+4}{x-1} ^{\color{blue}{\backslash 4x+1}} - \dfrac{37x-12}{(4x+ 1)(x-1)}=\)

\(=\dfrac{(x+4)(4x+1)-(37x-12)}{(4x+ 1)(x-1)}=\)

\(=\dfrac{4x^2+x+16x+4-37x+12}{(4x+ 1)(x-1)}=\)

\(=\dfrac{4x^2-20x+16}{(4x+ 1)(x-1)}=\)

\(=\dfrac{4(x^2-5x+4)}{(4x+ 1)(x-1)}=\)

\(=\dfrac{4(x-4)\cancel{(x-1}))}{(4x+ 1)\cancel{(x-1)}}=\)

\(=\dfrac{4(x-4)}{4x+ 1}=\dfrac{4x-16}{4x+ 1}\)

1)  \(4x^2 - 3x - 1 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = -3\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot4\cdot(-1)=\)

\(=9 + 16 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2\cdot4} = \frac88 = 1\).

\(x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2\cdot4} = \frac{-2}{8} = -\frac14\).

\(4x^2 - 3x - 1 = 4(x - 1)(x + \frac14)=\)

\( = (4x + 1) (x - 1)\).

2) \(x^2-5x+4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=25 - 16 = 9\),    \(\sqrt 9 = 3\).

\(x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2\cdot1} = \frac82 = 4\).

\(x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2\cdot1} = \frac22 = 1\).

\(x^2-5x+4 = (x-4)(x - 1)\).

Ответ: \(\dfrac{4x-16}{4x+ 1}\).

б) \(\dfrac{x-1}{x+2} - \dfrac{1-x}{x^2+3x+2}=\)

\(=\dfrac{x-1}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash x+1}} - \dfrac{1-x}{(x+1)(x+2)}=\)

\(=\dfrac{(x-1)(x+1) - (1 - x)}{(x+2)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{x^2 - 1 -1 + x}{(x+2)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{x^2+x-2}{(x+2)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x+2)}(x-1)}{\cancel{(x+2)}(x+1)}=\dfrac{x-1}{x+1}\)

1) \(x^2+3x+2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = 2\).

\(D = b^2 - 4ac=3^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_1 = \frac{-3 + 1}{2\cdot1} = \frac{-2}{2}=-1\).

\(x_2 = \frac{-3 - 1}{2\cdot2} = \frac{-4}{2}=-2\).

2) \(x^2+x-2 = 0\)

\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2)=\)

\(=1 + 8 = 9\),    \(\sqrt D = 3\).

\(x_1 = \frac{-1 + 3}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

\(x_2 = \frac{-1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x^2+x-2 = (x-1)(x+2)\).

Ответ: \(\dfrac{x-1}{x+1}\).

в) \(\dfrac{7x-x^2}{x+4} \cdot \dfrac{x^2-x-20}{7-x}=\)

\(= \frac{x\cancel{(7-x)}}{\cancel{x+4}}\cdot \frac{(x-5)\cancel{(x+4)}}{\cancel{7-x}} =\)

\(= x(x-5) = x^2 - 5x\).

\(x^2-x-20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -20\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-20)=\)

\(=1 + 80 = 81\),   \(\sqrt D = 9\).

\(x_1 = \frac{-(-1) + 9}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{-(-1) - 9}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

\(x^2-x-20 = (x - 5)(x + 4)\)

Ответ: \(x^2 - 5x\).

г) \(\dfrac{x^2+11x+30}{3x-15} : \dfrac{x+5}{x-5}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x + 5)}(x + 6)}{3\cancel{(x-5)}} \cdot \dfrac{\cancel{x-5}}{\cancel{x+5}}=\)

\(=\frac{x + 6}{3}\).

\(x^2+11x+30=0\)

\(a=1\),  \(b = 11\),  \(c = 30\)

\(D = b^2 - 4ac =11^2 - 4\cdot1\cdot30 =\)

\( = 121 - 120 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_1 = \frac{-11 + 1}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

\(x_2 = \frac{-11 - 1}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

\(x^2+11x+30=(x + 5)(x + 6)\)

Ответ: \(\frac{x + 6}{3}\).

д) \(\dfrac{2x^2-7}{x^2-3x-4} - \dfrac{x+1}{x-4}=\)

\(=\dfrac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \dfrac{x+1}{x-4} ^{\color{blue}{\backslash x+1}} =\)

\(=\dfrac{(2x^2-7)-(x+1)^2}{(x-4)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{2x^2-7-(x^2+2x+1)}{(x-4)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{2x^2-7-x^2-2x-1}{(x-4)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{x^2-2x-8}{(x-4)(x+1)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x-4)}(x+2)}{\cancel{(x-4)}(x+1)}=\dfrac{x+2}{x+1}\)

1) \(x^2-3x-4=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c=-4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4)=\)

\(=9 + 16 = 25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

2) \(x^2-2x-8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c=-8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8) =\)

\(=4 + 32 = 36\),    \(\sqrt D = 6\)

\(x_1 = \frac{-(-2) + 6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{-(-2) - 6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)\)

Ответ: \(\dfrac{x+2}{x+1}\).

е) \(\dfrac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2} + \dfrac{10x}{3x-2}=\)

\(=\dfrac{2+x-x^2}{(3x-2)(x-1)} + \dfrac{10x}{3x-2} ^{\color{blue}{\backslash x-1}} =\)

\(=\dfrac{(2+x-x^2)+10x(x-1)}{(3x-2)(x-1)} =\)

\(=\dfrac{2+x-x^2+10x^2-10x}{(3x-2)(x-1)} =\)

\(=\dfrac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)} =\)

\(=\dfrac{\cancel{(3x-2)}(3x-1)}{\cancel{(3x-2)}(x-1)} =\dfrac{3x-1}{x-1}\)

1) \(3x^2-5x+2=0\)

\(a = 3\),  \(b = -5\),  \(c=2\)

\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2-4\cdot3\cdot2 =\)

\(=25-24=1\),     \(\sqrt D =1\).

\(x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2\cdot3} = \frac{6}{6} = 1\).

\(x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2\cdot3} = \frac{4}{6} = \frac23\).

\(3x^2-5x+2=3(x-1)(x-\frac23)=\)

\(=(3x-2)(x-1)\)

2) \(9x^2-9x+2=0\)

\(a = 9\),  \(b = -9\),  \(c=2\)

\(D = b^2 - 4ac =(-9)^3 - 4\cdot9\cdot2=\)

\(=81 - 72 =9\),     \(\sqrt D = 3\).

\(x_1 = \frac{-(-9) + 3}{2\cdot9} = \frac{12}{18} = \frac23\).

\(x_2 = \frac{-(-9) - 3}{2\cdot9} = \frac{6}{18} = \frac13\).

\(9x^2-9x+2=9(x - \frac23)(x - \frac13)=\)

\(=(3x-2)(3x-1)\)

Ответ: \(\dfrac{3x-1}{x-1}\).

---

Пояснения:

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, после чего воспользоваться правилами сложения или вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, то есть сложить или вычесть числители дробей, а знаменатель оставить тем же. При приведении дробей к общему знаменателю, сначала, если возможно, раскладываем знаменатели на множители, используя следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka\pm kb = k(a\pm b)\);

- разложение квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) на множители по его корням \(x_1\) и \(x_2\):

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x-x_2)\).

Корни квадратного трехчлена на множители находим через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), учитывая то, что при \(D>0\) квадратный трехчлен имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b+\sqrt D}{2a}\).

Чтобы перемножить рациональные дроби, перемножаем числители этих дробей и перемножаем знаменатели, при этом перед умножением, если возможно, выполняем сокращение, предварительно разложив числители и знаменатели этих дробей на множители.

Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель - произведению знаменателя делимого и числителя делителя, при этом также если возможно выполняем сокращение.