Вернуться к содержанию учебника
Найдите корни уравнения:
а) \(y^{7} - y^{6} + 8y = 8\);
б) \(u^{7} - u^{6} = 64u - 64.\)
Вспомните:
а) \(y^{7} - y^{6} + 8y = 8\)
\(y^{7} - y^{6} + 8y - 8 = 0.\)
\(y^{6}(y - 1) + 8(y - 1) = 0.\)
\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0.\)
или \(y - 1 = 0\)
\(y = 1;\)
или \(y^{6} + 8 = 0\)
\(y^{6} = -8\) - не имеет корней, так как \(y^{6} \ge 0\).
Ответ: \(y = 1.\)
б) \(u^{7} - u^{6} = 64u - 64\)
\(u^{7} - u^{6} - 64u + 64 = 0\)
\(u^{6}(u - 1) - 64(u - 1) = 0\)
\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\)
или \(u - 1 = 0 \)
\(u = 1\);
или \(u^{6} - 64 = 0\)
\(u^{6} = 64\)
\(u=\pm 2.\)
Ответ: \(u = -2,\; 1,\; 2.\)
Пояснения:
Сначала в каждом уравнении переносим слагаемые из правой части уравнения в левую со сменой знака на противоположный.
Затем в обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.
В пункте а) уравнение сводится к произведению
\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0\).
И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Вторая скобка не может быть равна нулю, потому что \(y^{6} \ge 0\).
4. В пункте б) уравнение сводится к произведению
\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\).
И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Из того, что \(u^{6} = 64 = 2^{6}\), получаем \(u = \pm 2\), поскольку чётная степень убирает знак.
Вернуться к содержанию учебника