Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№229 учебника 2023-2026 (стр. 78):
Найдите корни уравнения:
а) \(y^{7} - y^{6} + 8y = 8\);
б) \(u^{7} - u^{6} = 64u - 64.\)
№229 учебника 2014-2022 (стр. 71):
При каком значении \(a\) график функции \(y=ax^{2}\) проходит через точку:
а) \((5;\,-7)\);
б) \((-\sqrt{3};\,9)\);
в) \(\left(-\dfrac12;\,-\dfrac12\right)\);
г) \((100;\,10)\)?
№229 учебника 2023-2026 (стр. 78):
Вспомните:
№229 учебника 2014-2022 (стр. 71):
Вспомните:
№229 учебника 2023-2026 (стр. 78):
а) \(y^{7} - y^{6} + 8y = 8\)
\(y^{7} - y^{6} + 8y - 8 = 0.\)
\(y^{6}(y - 1) + 8(y - 1) = 0.\)
\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0.\)
или \(y - 1 = 0\)
\(y = 1;\)
или \(y^{6} + 8 = 0\)
\(y^{6} = -8\) - не имеет корней, так как \(y^{6} \ge 0\).
Ответ: \(y = 1.\)
б) \(u^{7} - u^{6} = 64u - 64\)
\(u^{7} - u^{6} - 64u + 64 = 0\)
\(u^{6}(u - 1) - 64(u - 1) = 0\)
\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\)
или \(u - 1 = 0 \)
\(u = 1\);
или \(u^{6} - 64 = 0\)
\(u^{6} = 64\)
\(u=\pm 2.\)
Ответ: \(u = -2,\; 1,\; 2.\)
Пояснения:
Сначала в каждом уравнении переносим слагаемые из правой части уравнения в левую со сменой знака на противоположный.
Затем в обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.
В пункте а) уравнение сводится к произведению
\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0\).
И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Вторая скобка не может быть равна нулю, потому что \(y^{6} \ge 0\).
4. В пункте б) уравнение сводится к произведению
\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\).
И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Из того, что \(u^{6} = 64 = 2^{6}\), получаем \(u = \pm 2\), поскольку чётная степень убирает знак.
№229 учебника 2014-2022 (стр. 71):
а) \( y=ax^{2}\), \((5; -7)\)
\(-7=a\cdot 5^{2} \)
\(-7=25a \)
\(a=-\frac{7}{25}. \)
Ответ: \(a=-\frac{7}{25}. \)
б) \( y=ax^{2}\), \((-\sqrt{3};\,9)\)
\( 9=a\cdot (-\sqrt{3})^{2} \)
\(9=a\cdot 3 \)
\(a = \frac93\)
\(a=3 \)
Ответ: \(a=3. \)
в) \( y=ax^{2}\), \(\left(-\dfrac12;\,-\dfrac12\right)\)
\( -\frac12=a\cdot\left(-\frac12\right)^{2} \)
\(-\frac12=a\cdot\frac14 \)
\(a = -\frac12 : \frac14\)
\(a = -\frac12 \cdot 4\)
\(a=-2 \)
Ответ: \(a=-2 \).
г) \( y=ax^{2}\), \((100;\,10)\)
\( 10=a\cdot 100^{2} \)
\(10=a\cdot 10000 \)
\(a=\frac{10}{10000} \)
\(a=\frac{1}{1000} \)
\(a=0,001 \)
Ответ: \(a=0,001. \)
Пояснения:
Чтобы определить значение коэффициента \(a\) в функции \( y=ax^{2}\), зная, что эта функция проходит через заданную точку \((x_0; y_0)\), нужно в эту функцию подставить координаты точки, и решить полученное уравнение относительно переменной \(a\), то есть получим:
\( y_0=ax_0^{2}\), откуда \(a = \frac{y_0}{x_0^2}\).
Вернуться к содержанию учебника