Упражнение 230 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 3x^{2} - 25x - 28. \)

\(a = 3\),  \(b = -25\),  \(c = -28\)

\(D = b^2 - 4ас=\)

\(= (-25)^2 - 4\cdot3\cdot(-28) = \)

\(=625 + 336 = 961 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 31.\)

\(x_{1} = \frac{25 + 31}{2\cdot 3} =\frac{56}{6} = \frac{28}{3} \).

\(x_{2} = \frac{25 - 31}{2\cdot 3} =\frac{-6}{6} = -1\).

\( 3x^{2} - 25x - 28 =\)

\(=3(x - \frac{28}{3}) (x + 1)=\)

\(= (3x - 28) (x + 1).\)

б) \( 2x^{2} + 13x - 7. \)

\(a = 2\),  \(b = 13\),  \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ас=\)

\(= 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) =\)

\(=169 + 56 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 15.\)

\(x_{1} = \frac{-13 + 15}{2\cdot 2} =\frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

\(x_{2} = \frac{-13 - 15}{2\cdot 2} =\frac{-28}{4} = -7 \).

\( 2x^{2} + 13x - 7 =\)

\(=2(x - \frac12)(x + 7)=\)

\(=(2x - 1)(x + 7). \)

Пояснения:

При разложении на множители, помним, если дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

Также, если при разложении в множителях получаются дроби, можно, используя распределительное свойство умножения, избавиться от дробей, умножив выражение в скобке на \(a\).

\(y=-0{,}25x^{2}\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

 \(x\in[-6;\,2]\)

\( y_{\text{наиб.}}=0\) при \( x=0\).

\( y_{\text{наим.}}=-9\) при \( x=-6\).

Пояснения:

При построении графика функции берем значения \(x\) из промежутка \([-6;\,2]\), включая его концы, то есть составляем таблицу для  \(x\in[-6;\,2]\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим график искомой функции \(y=-0{,}25x^{2}\) на заданном промежутке.

Функция \(y=-0,25x^{2}\) — парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -0,25 < 0\), поэтому её наибольшее значение находится в вершине.

У функции вида \(y=ax^{2}\) вершина всегда в точке \((0,0)\). Значит, \( y_{\text{наиб.}}=0\) при \( x=0\).

Наименьшее значение на ограниченном промежутке достигается либо в вершине, либо на концах. Значения на концах равны \(-9\) и \(-1\). Значит, \( y_{\text{наим.}}=-9\) при \( x=-6\).