Упражнение 202 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№202 учебника 2023-2026 (стр. 70):
Найдите значение \(a\), при котором осью симметрии параболы \(y = ax^{2} - 16x + 1\) является прямая \(x = 4\).
№202 учебника 2014-2022 (стр. 68):
В равнобедренном треугольнике \(ABC\) основание \(AC\) равно \( 6\) см, а боковая сторона — \(5\) см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна \(y\) (см), а расстояние от вершины — \(x\) (см). Задайте формулой \(y\) как функцию от \(x\). Найдите множество значений этой функции.
Подсказка
№202 учебника 2023-2026 (стр. 70):
Вспомните:
- Квадратичную функцию.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Линейное уравнение с одной переменной.
- Деление и дроби.
№202 учебника 2014-2022 (стр. 68):
Вспомните:
- Что называют функцией, ее область определения и область значений.
- Числовые промежутки.
- Свойства числовых неравенств.
- Равнобедренный треугольник.
- Высота и медиана равнобедренного треугольника.
- Параллельные прямые.
- Теорему Пифагора.
- Пропорции.
- Подобные треугольники.
- Первый признак подобия треугольников.
- Степень с натуральным показателем.
- Арифметический квадратный корень.
- Сокращение дробей.
- Десятичная запись дробных чисел.
- Умножение десятичных дробей.
Ответ
№202 учебника 2023-2026 (стр. 70):
\(y = ax^{2} - 16x + 1\),
\(x = 4\) - ось симметрии и абсцисса вершины параболы.
\( x = -\frac{b}{2a} \)
\(4 = -\frac{-16}{2a}\)
\(4 = \frac{16}{2a}\) \(/\times 2a\)
\(4\cdot2a=16\)
\(8a = 16\)
\(a = \frac{16}{8}\)
\(a = 2\)
Ответ: при \( a = 2. \)
Пояснения:
Для любой квадратичной функции \[ y = ax^{2} + bx + c, \] ось симметрии проходит через вершину параболы, абсцисса которой: \[ x = -\frac{b}{2a}. \]
В задаче ось симметрии известна: \(x = 4\), значит, и абсцисса вершины параболы также равна \(4\). Подставив её в формулу, и, учитывая то, что \(b = -16\), получаем уравнение, которое позволяет найти значение коэффициента \(a\).
№202 учебника 2014-2022 (стр. 68):
\(AB = BC = 5\) см, \(AC = 6\) см,
\(MN = y\) см, \(BH = x\) см.
\(BD\) - высота и медиана,
\(AD = DC = 3\) см.
1) По теореме Пифагора:
\( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} =\)
\(\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\) (см)
2) \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам
(\(\angle B\) - общий, \(\angle A = \angle {BMN}\)), \(\Rightarrow \)
\(\frac{MN}{AC} = \frac{BH}{BD}\), \(\Rightarrow \)
\( \frac{y}{6} = \frac{x}{4}\)
\(4y = 6x\)
\(y = \frac64x = \frac32x = 1,5x\),
где \(0 < x \le 4\), тогда
\(1,5\cdot 0 < 1,5x \le 1,5 \cdot 4\)
\(0 < 1,5x \le 6\)
\(0 < y \le 6\)
Ответ: \(y = 1,5x\), \(E(y) = (0; 6]\).
Пояснения:
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого боковые стороны равны. Высота равнобедренного треугольника является и его медианой, поэтому проведя высоту \(BD\) в \(\triangle ABC\) и учитывая то, что \(AD = DC = \frac12AC = 3\) см, по теореме Пифагора получим:
\( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 4\) (см)
Треугольники \( MBN\) и \(ABC\) подобны по двум углам (\(\angle B\) - общий, \(\angle A = \angle {BMN}\), как соответственные углы при пересечении параллельных прямых \(AC\) и \(MN\) секущей \(AM\)). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому \(\frac{MN}{AC} = \frac{BH}{BD}\). Откуда, учитывая то, что \(MN = y\), \(BH = x\), \(AC = 6\), \(BD = 4\), имеем:
\( \frac{y}{6} = \frac{x}{4}\).
Тогда по свойству пропорции:
\(4y = 6x\), откуда \(y =1,5x\).
Подвижный отрезок может пройти расстояние от нуля до 4 см, так как \(BD = 4\) см, значит,
\(0 < x \le 4\), умножив части неравенства на \(1,5\), получим:
\(0 < 1,5x \le 6\), следовательно,
\(0 < y \le 6\), то есть область значений функции \(E(y) = (0; 6]\).
Вернуться к содержанию учебника