Вернуться к содержанию учебника
Пусть \(h\) (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, \(t\) (с) — время полёта мяча. Зависимость \(h\) от \(t\) выражается формулой \[ h = 24t - 4{,}9t^{2}. \] Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался? Через сколько секунд после броска он упал на землю?
Вспомните:
\( h(t)=24t-4{,}9t^{2} \)
\( h(t)=-4{,}9t^{2} + 24t \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -4,9 < 0\) и наибольшее значение \(h\) в вершине параболы.
\( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2\cdot(-4{,}9)} =\)
\(=\frac{24}{9{,}8} = \frac{240}{98}= \frac{120}{49} = 2\frac{22}{49}.\)
\( h_0 = 24\cdot 2\frac{22}{49}-4{,}9\cdot \left(2\frac{22}{49}\right)^{2} =\)
\(= 24\cdot \frac{120}{49}-\frac{49}{10}\cdot \left(\frac{120}{49}\right)^{2} =\)
\(=\frac{24\cdot120}{49} - \frac{\cancel{49}\cdot120\cdot12\cancel0}{\cancel{10}\cdot49^{\cancel2}} =\)
\(=\frac{24\cdot120}{49} - \frac{120\cdot12}{49} =\)
\(=\frac{24\cdot120 - 120\cdot12}{49}=\)
\(=\frac{120\cdot(24 - 12)}{49}=\)
\(=\frac{120\cdot12}{49}=\frac{1440}{49}=29\frac{19}{49}.\)
| - | 1 | 4 | 4 | 0 | 2 | 9 | |||||||
| 1 | 1 | 6 | 4 | 9 | |||||||||
| - | 2 | 8 | 0 | ||||||||||
| 2 | 6 | 1 | |||||||||||
| 1 | 9 |
\(\left( 2\frac{22}{49}; 29\frac{19}{49}\right)\) - вершина параболы.
\(h=29\frac{19}{49}\) (м) - наибольшая высота мяча.
Нули функции:
\( 24t-4{,}9t^{2}=0 \)
\(t(24-4{,}9t)=0\)
\(t=0\) или \(24 - 4,9t = 0\)
\(4,9t = 24\)
\(t = \frac{24}{4,9}\)
\(t = \frac{240}{49}\)
\(t = 4\frac{44}{49}\)
| - | 2 | 4 | 0 | 4 | 9 | ||||||||
| 1 | 9 | 6 | 4 | ||||||||||
| 4 | 4 |
\(t= 0\) - момент броска мяча.
\(t = 2\frac{22}{49}\) (с) - время, когда мяч достиг наибольшей высоты.
\(t = 4\frac{44}{49}\) (с) - время после брска, через которое мяч упал на землю.
\(\left[0; 2\frac{22}{49}\right]\) - промежуток времени, в течение которого мяч поднимался.
\(\left[2\frac{22}{49}; 4\frac{44}{49}\right]\) - промежуток времени, в течение которого мяч опускался.
Пояснения:
Зависимость \( h(t)=24t-4{,}9t^{2} \) — это квадратичная функция, значит её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как
\(a = -4,9 < 0\). Поэтому в вершине параболы функция достигает наибольшего значения.
Координата вершины по оси времени для параболы \(h(t)=at^{2}+bt+c\) находится по формуле \[ t_{0}=-\frac{b}{2a}. \] Подставив \(a=-4{,}9\), \(b=24\), получили время, когда мяч достиг наибольшей высоты \(t_0= 2\frac{22}{49}.\)
Значение функции в вершине даёт наибольшую высоту:
\( h_0 = 24t_0-4{,}9t_0^{2} = 29\frac{19}{49}.\)
Время полёта мяча до приземления определяется из уравнения
\(24t-4{,}9t^{2}=0\). Получается квадратное уравнение, корни которого дают моменты, когда мяч на земле: \(t=0\) (момент броска) и \(t= 4\frac{44}{49}\) с (момент падения).
Так как при \(t=0\) высота нулевая, затем она растёт до максимума, а после уменьшается до нуля, то:
— на промежутке \(\left[0; 2\frac{22}{49}\right]\) функция \(h(t)\) возрастает — мяч поднимается;
— на промежутке \(\left[2\frac{22}{49}; 4\frac{44}{49}\right]\) функция убывает — мяч опускается.
Вернуться к содержанию учебника