Упражнение 204 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№204 учебника 2023-2026 (стр. 70):
Найдите значения \(a\) и \(b\), при которых график функции \(y = ax^{2} + bx - 18\) проходит через точки \(M(1; 2)\) и \(N(2; 10)\).
№204 учебника 2014-2022 (стр. 68):
Катер отправляется от пристани \(A\) и идёт вниз по реке к пристани \(B\), до которой \(60\) км. После двухчасовой стоянки на пристани \(B\) он возвращается обратно. Расстояние \(l\) (км), пройденное катером от пристани \(A\), зависит от времени \(t\) (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из \(A\) до момента возвращения. Собственная скорость катера \(16\) км/ч, скорость течения реки \(4\) км/ч. Задайте \(l\) как функцию от \(t\) формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.
Подсказка
№204 учебника 2023-2026 (стр. 70):
Вспомните:
- Квадратичную функцию.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Степень с натуральным показателем.
- Уравнения с двумя переменными.
- Решение систем уравнений методом сложения.
- Деление рациональных чисел.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
№204 учебника 2014-2022 (стр. 68):
Вспомните:
- Задачи на движение.
- Что называют функцией.
- Линейную функцию, ее график.
- Числовые промежутки.
Ответ
№204 учебника 2023-2026 (стр. 70):
\(y = ax^{2} + bx - 18\)
\(M(1; 2)\):
\[ 2 = a\cdot 1^{2} + b\cdot 1 - 18 \] \[ 2 = a + b - 18 \] \[ a + b = 20. \]
\(N(2; 10)\):
\[ 10 = a\cdot 2^{2} + b\cdot 2 - 18 \] \[ 10 = 4a + 2b - 18 \] \[ 4a + 2b = 28. \]
Составим систему:
\( \begin{cases} a + b = 20,\\ 4a + 2b = 28 / : (-2) \end{cases} \)
\( \begin{cases} a + b = 20,\\ -2a - b = -14 \end{cases} \) \((+)\)
\( \begin{cases} -a = 6,\\ a + b = 20 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a = -6,\\ b = 20 - a \end{cases} \)
\( \begin{cases} a = -6,\\ b = 20 - (-6) \end{cases} \)
\( \begin{cases} a = -6,\\ b = 26 \end{cases} \)
Ответ: при \(a = -6\), \(b = 26\).
Пояснения:
Если точка лежит на графике функции, её координаты удовлетворяют уравнению функции. Подстановка двух точек образует систему из двух линейных уравнений. Решив систему методом сложения, получаем коэффициенты параболы.
№204 учебника 2014-2022 (стр. 68):
Расстояние - \(60\) км.
Собственная скорость - \(4\) км/ч.
Скорость - течения \(2\) км/ч.
Стоянка - \(2\) ч.
\(l(t) - ?\),
\(l\) - пройденное расстояние,
\(t\) - время в пути.
\(16+4=20\) (км/ч) - скорость катера по течению.
\(16-4=12\) (км/ч) - скорость катера против течения.
\(60 : 20 = 3\) (ч) - время в пути из \(A\) в \(B\).
\(60 : 12 = 5 \) (ч) - время в пути из \(B\) в \(A\).
\(3 + 2 + 5 = 10\) (ч) - общее время в пути.
\( l(t)= \begin{cases} 20t, при 0\le t < 3,\\[2mm] 60, при 3\le t \le 5,\\[2mm] 60-12\,(t-5), при 5 < t\le 10. \end{cases} \)
\( l(t)= \begin{cases} 20t, при 0\le t < 3,\\[2mm] 60, при 3\le t \le 5,\\[2mm] 120-12t, при 5< t\le 10. \end{cases} \)
\(D(l) = [0,10]\).
\(E(l) = [0,60]\).
При \(t \in [0; 3)\) - функция возрастает, катер удаляется от пункта \(A\).
При \(t \in [3; 5]\) - функция не изменяется, катер стоит в пункте \(B\).
При \(t \in (3; 10]\) - функция убывает, катер возвращается в пункт \(A\).
Пояснения:
Использованные формулы движения:
\( s=vt,\)
\(v_{\text{по теч.}}=v_{\text{собств.}}+v_{\text{теч.}},\)
\(v_{\text{против теч.}}=v_{\text{собств.}}-v_{\text{теч.}}. \)
На участке \(0\le t\le 3\) катер идёт вниз по реке (по течению) со скоростью \(20\) км/ч, поэтому расстояние от \(A\) растёт линейно: \(l=20t\).
На участке стоянки \(3\le t\le 5\) катер находится в \(B\), расстояние от \(A\) постоянно и равно \(60\): получаем горизонтальный отрезок графика.
На обратном пути \(5\le t\le 10\) катер идёт против течения со скоростью \(12\) км/ч, расстояние до \(A\) убывает линейно: \(l=60-12(t-5)\).
В момент \(t=10\) катер возвращается в \(A\), и \(l(10)=0\).
Физический смысл: рост расстояния соответствует движению от \(A\) к \(B\), горизонтальный участок — стоянке, убывание — возвращению к \(A\).
Вернуться к содержанию учебника