Упражнение 197 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y=|x|\)

\(y=|x-4|\) - сдвиг графика функции \(y=|x|\) на \(4\) единицы вправо.

\(y=|x-4|-3\) - сдвиг графика функции \(y=|x|\) на \(4\) единицы вправо и на \(3\) единицы вниз.

Пояснения:

Горизонтальные сдвиги (вдоль оси \(x\)):

\( y=f(x-m) \) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вправо на \(m\) единиц, \(y=f(x+m) \) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) влево на \( m\) единиц.

Вертикальные сдвиги (вдоль оси \(y\)):

\( y=f(x)+n\) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вверх на \(n\) единиц, \(y=f(x)-k\) —  сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вниз на \(n\) единиц.

Вершины графиков.

— \(y=|x|\): вершина \((0,0)\);

— \(y=|x-4|\): вершина \((4,0)\);

— \(y=|x-4|-3\): вершина \((4,-3)\).

Все три графика — V-образные ломаные, отличающиеся только сдвигами.

а) \( \dfrac{3 + 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}}= \dfrac{3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}}+1)}{3^{-\frac{1}{2}}}  =\)

\(=3^{\frac12-(\frac12)}(3^{\frac{1}{2}}+1)=3(\sqrt{3}+1).\)

б) \(\small \dfrac{10}{10 - 10^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{(10^{\frac{1}{2}})^2}{10^{\frac{1}{2}}(10^{\frac{1}{2}} - 1)} = \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} - 1} \)

в) \( \dfrac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} =\)

\(=x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}= \sqrt{x} - \sqrt{y} \)

г) \(\small \dfrac{b^{\frac{1}{2}} - 5}{b - 25} = \dfrac{\sqrt{b} - 5}{(\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)} = \dfrac{1}{\sqrt{b} + 5} \)

д) \( \dfrac{c + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c - d} =\)

\(= \dfrac{(\sqrt{c} + \sqrt{d})^2}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(\sqrt{c} + \sqrt{d})} = \dfrac{\sqrt{c} + \sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} \)

е) \( \dfrac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} =\)

\(=\dfrac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} =\)

\(= m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} \)

Пояснения:

При решении  используем:

Если \(a\) - положительное число, \(\frac{m}{n}\) - дробное число (\(m\) - целое число, \(n\) - натуральное), то  \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.\)

Для любого \(a>0\) и любых рациональных чисел \(p\) и \(q\):

\(a^pa^q=a^{p+q},\)

\(a^p:a^q=a^{p-q},\)

\((a^p)^q=a^{pq}.\)

Разность квадратов двух выражений:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Квадрат суммы двух выражений:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]

Сумма кубов двух выражений:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]