Упражнение 203 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y = ax^{2} + c \)

Нули функции:

\(ax^{2} + c = 0 \)

\( ax^{2} = -c\)

\(x^2 = -\frac{c}{a} \)

Корни существуют, если:

\( -\frac{c}{a} \ge 0,\)   \(\Rightarrow \)   \( \frac{c}{a} \le 0\)

\(c \le 0\), \(a > 0\) или \(c \ge 0\), \(a < 0\)

Ответ: при \(c \le 0\), \(a > 0\) или \(c \ge 0\), \(a < 0\).

Пояснения:

Чтобы функция имела нули, нужно, чтобы уравнение \( ax^{2} + c = 0 \) имело решения. Это возможно, если выражение \( x^{2} = -\frac{c}{a} \) даёт не отрицательное число, ведь квадрат любого числа неотрицателен.

Выражение \(-\frac{c}{a}\) должно быть неотрицательным:

\( -\frac{c}{a} \ge 0,\) откуда \( \frac{c}{a} \le 0\),

что возможно при

\(c \le 0\), \(a > 0\) или \(c \ge 0\), \(a < 0\).

1) С осью \(y\):   \(x = 0\).

\( y = \frac{1}{0^2 + 1} = 1. \)

\((0; 1)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\):   \(y = 0\).

\( \frac{1}{x^2 + 1} = 0\) - нет корней, так как \(\dfrac{1}{x^2 + 1} > 0\) для любого \(x\), поэтому график ось \(x\) не пересекает.

2) Знаменатель \(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), значит, \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1} > 0\) при любом \(x\). Тогда график функции расположен выше оси \(x\), то есть в I и II координатных четвертях.

Ответ: график пересекает ось \(y\) в точке \((0; 1)\), не пересекает ось \(x\) и расположен в I и II координатных четвертях.

Пояснения:

Функция \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1}\):

• определена для любого значения \(x\);
• всегда положительна, так как знаменатель \(x^2 + 1 > 0\) и поэтому не пересекает ось \(x\);
• ось \(y\) функция пересекает при \(x = 0\) в точке \((0; 1)\).

Поэтому график функции \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) полностью расположенная выше оси \(x\), то есть в I и II координатных четвертях.