Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(c\) график функции \(y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше прямой:
а) \(y = 4\); б) \(y = -1\)?
Вспомните:
а) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = 4\)
\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)
\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)
\(=9 - 18 + c = c - 9. \)
\((3; c - 9)\) - вершина параболы.
\(c - 9 > 4\)
\(c > 4 + 9\)
\( c > 13. \)
Ответ: график функции
\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше
прямой \( y = 4\) при \( c > 13. \)
б) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = -1\)
\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)
\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)
\(=9 - 18 + c = c - 9. \)
\((3; c - 9)\) - вершина параболы.
\(c - 9 > -1\)
\(c > -1 + 9\)
\( c > 8. \)
Ответ: график функции
\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше
прямой \( y = -1\) при \( c > 8. \)
Пояснения:
Графиком функции \(y = x^{2} - 6x + c\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \(a = 1 > 0\), поэтому её наименьшее значение — это значение в вершине. Если вершина лежит выше прямой, то весь график также будет выше этой прямой.
Формула вершины параболы.
\((x_0; y_0)\) - вершина параболы.
Для \(y = ax^{2} + bx + c\):
\( x_{0} = -\frac{b}{2a}, \)
\(y_{0} = ax_0^{2} + bx_0 + c.\)
Графиком функции \(y = k\), где \(k\) - произвольное число, является прямая параллельная оси \(x\), проходящая через точку \((0; k)\).
Чтобы парабола располагалась выше прямой \(y = k\), должно выполняться условие \(y_0 > k\).
Вернуться к содержанию учебника