Упражнение 200 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = 4\)

\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.

\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)

\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)

\(=9 - 18 + c = c - 9. \)

\((3; c - 9)\) - вершина параболы.

\(c - 9 > 4\)

\(c > 4 + 9\)

\( c > 13. \)

Ответ: график функции

\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше

прямой \( y = 4\) при \( c > 13. \)

б) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = -1\)

\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.

\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)

\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)

\(=9 - 18 + c = c - 9. \)

\((3; c - 9)\) - вершина параболы.

\(c - 9 > -1\)

\(c > -1 + 9\)

\( c > 8. \)

Ответ: график функции

\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше

прямой \( y = -1\) при \( c > 8. \)

Пояснения:

Графиком функции \(y = x^{2} - 6x + c\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \(a = 1 > 0\), поэтому её наименьшее значение — это значение в вершине. Если вершина лежит выше прямой, то весь график также будет выше этой прямой.

Формула вершины параболы.

\((x_0; y_0)\) - вершина параболы.

Для \(y = ax^{2} + bx + c\):

\( x_{0} = -\frac{b}{2a}, \)

\(y_{0} = ax_0^{2} + bx_0 + c.\)

Графиком функции \(y = k\), где \(k\) - произвольное число, является прямая параллельная оси \(x\), проходящая через точку \((0; k)\).

Чтобы парабола располагалась выше прямой \(y = k\), должно выполняться условие \(y_0 > k\).

а) \( y = \dfrac{1}{6x} + \dfrac{1}{6 + x} \)

\( \begin{cases} 6x \ne 0,\\[2pt] 6 + x \ne 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ne 0,\\[2pt] x \ne -6 \end{cases} \)

Ответ: \(D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)\).

б) \( y = \sqrt{x} - \sqrt{x - 4} \)

\( \begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] x - 4 \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] x \ge 4 \end{cases} \)

\( x \ge 4 \)

Ответ: \( D(y) = [4; +\infty) \).

в) \( y = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} \)

\( \begin{cases} x \ne 0,\\[2pt] 1 + \dfrac{1}{x} \ne 0  /\times x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ne 0,\\[2pt] x + 1 \ne 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ne 0,\\[2pt] x \ne -1 \end{cases} \)

Ответ: \(D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)\).

Пояснения:

• Для дробных выражений знаменатель не может быть равен нулю.
• Для выражений с квадратным корнем подкоренное выражение должно быть неотрицательным (\(\ge 0\)).
• Если несколько условий, область определения находится как пересечение всех возможных областей с помощью систем уравнений или систем неравенств.