Упражнение 206 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = 3x^{2} - 0{,}5x + \dfrac{1}{16}\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\), и наименьшее значение функции в ее вершине.

\(a=3\), \(b=-0,5\), \(c=\dfrac{1}{16}\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2\cdot3}=\frac{0,5}{6} =\)

\(=\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\).

\(y_0 = 3\cdot \left(\frac{1}{12}\right)^{2} - 0{,}5\cdot\left(\frac{1}{12}\right) + \dfrac{1}{16}=\)

\(= ^{\color{blue}{1}} \cancel3\cdot\frac{1}{\cancel{144}_{{\color{blue}{48}}}}-\frac{1}{24} + \frac{1}{16} =\)

\(=\frac{1}{48} - \frac{1}{24} ^{\color{red}{\backslash2}} + \frac{1}{16} ^{\color{red}{\backslash3}} =\)

\(=\frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} =\frac{2}{48} = \frac{1}{24}\).

\(\left(\frac{1}{24}; \frac{1}{24}\right)\) - вершина параболы.

\(E(y) = \left[\frac{1}{24}; +\infty \right)\).

Ответ: \(E(y) = \left[\frac{1}{24}; +\infty \right)\).

б) \(y = 2x^{2} + 1{,}2x + 2 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\), и наименьшее значение функции в ее вершине.

\(a=2\), \(b=1,2\), \(c=2\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2\cdot2}=\)

\(=-\frac{1,2}{4} = -0,3\)

\(y_0 = 2\cdot(-0,3)^{2} + 1{,}2\cdot(-0,3) + 2= \)

\( = 2\cdot0,09 - 0,36 + 2 = \)

\(= 0,18 - 0,36 + 2 =\)

\(=-0,18 + 2 = 1,82.\)

\((-0,3; 1,82)\) - вершина параболы.

\(E(y) = [1,82; +\infty )\).

Ответ: \(E(y) = [1,82; +\infty )\).

в) \(y = -\dfrac12 x^{2} + 4x - 5{,}5\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -\dfrac12 < 0\), и наибольшее значение функции в ее вершине.

\(y= -0,5x^{2} + 4x - 5,5\)

\(a=-0,5\), \(b=4\), \(c=-5,5\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2\cdot(-0,5)}=\)

\(=-\frac{4}{-1} = 4.\)

\(y= -0,5\cdot 4^{2} + 4\cdot 4 - 5,5=\)

\(=-0,5\cdot16 + 16 -5,5 =\)

\(=-8+16-5,5 =2,5.\)

\((4; 2,5)\) - вершина параболы.

\(E(y) = (-\infty; 2,5]\).

Ответ: \(E(y) = (-\infty; 2,5]\).

г) \(y = -3x^{2} - 2x - 4\dfrac{2}{3}\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -3 < 0\), и наибольшее значение функции в ее вершине.

\(a=-3\), \(b=-2\), \(c=-4\dfrac{2}{3}\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot(-3)}=\)

\(=-\frac{-2}{-6} = -\frac13.\)

\(y_0 = -3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{2} - 2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) - 4\dfrac{2}{3}=\)

\(=-3\cdot\frac{1}{9} +\frac23 - 4\frac23 =\)

\(=-\frac13 +\frac23 - 4\frac23 =-4\frac13\)

\(\left(-\frac{1}{3}; -4\frac{1}{3}\right)\) - вершина параболы.

\(E(y) = \left(-\infty; -4\frac{1}{3}\right]\).

Ответ: \(E(y) = \left(-\infty; -4\frac{1}{3}\right]\).

Пояснения:

Для квадратичной функции

\(y=ax^{2}+bx+c\)

вершина параболы даёт либо наименьшее, либо наибольшее значение функции.

Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх и значение в вершине \((x_0; y_0)\) — наименьшее, поэтому множество значений функции имеет вид: \( [y_{0},+\infty)\).

Если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз и значение в вершине \((x_0; y_0)\) — наибольшее, поэтому множество значений функции имеет вид: \( (-\infty,y_{0}]\).

В каждом пункте определили коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) и нашли координаты вершины параболы:

\(x_0 = -\frac{b}{2a}\),

\(y_0=ax_0^{2}+bx_0+c\).

Учитывая знак коэффициента \(a\), записали соответствующий промежуток значений функции.

а) \( y = \dfrac{2x + 11}{10} \)

\( \dfrac{2x + 11}{10} = 0 \)

\(2x + 11 = 0 \)

\(2x = -11 \)

\(x = -\dfrac{11}{2} \)

\(x= -5{,}5. \)

Ответ: \(y=0\) при \( x = -5{,}5. \)

б) \( y = \dfrac{6}{8 - 0{,}5x} \)

\(\dfrac{6}{8 - 0{,}5x} = 0 \) - невозможно, так как \(6 \ne 0\).

Ответ: нулей функции не существует.

в) \( y = \dfrac{3x^2 - 12}{4} \)

\( \dfrac{3x^2 - 12}{4} = 0 \)

\(3x^2 - 12 = 0\)

\( 3x^2 = 12\)

\( x^2 = \frac{12}{3}\)

\(x^2 = 4\)

\(x =\pm \sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Ответ: \(y = 0\) при \( x = -2\) и \(x = 2. \)

Пояснения:

• Нулём функции называется значение аргумента \((x)\), при котором \(y = 0.\)
• Если функция имеет вид дроби, то нули возможны только в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не обращается в ноль.

В пункте а) при приравнивании числителя к нулю, получили линейное уравнение \(2x + 11 = 0 \), которое имеет единственный корень \(x= -5{,}5\) - нуль функции.

В пункте б) числитель всегда отличен от нуля, значит, нулей функции не существует.

В пункте в) при приравнивании числителя к нулю, получили неполное квадратное уравнение \(3x^2 - 12 = 0\), которое имеет два корня: \( x_1 = -2\) и \(x_2 = 2 \) - нули функции.