Упражнение 153 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 60

а)

\[ y=\frac13 x^2 - 4x + 4. \]

Найдём вершину:

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot\frac13}=\frac{4}{\frac23}=6. \]

\[ y_0=\frac13\cdot 6^2 - 4\cdot6 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8. \]

Вершина: \((6,\,-8)\), ветви вверх.

Свойства:

— Область определения: все \(x\). — Область значений: \([ -8,\,+\infty )\). — Возрастает при \(x>6\), убывает при \(x<6\). — Ось симметрии: \(x=6\).

б)

\[ y=-\frac14 x^2 + x - 1. \]

Вершина:

\[ x_0=-\frac{1}{2\cdot(-\frac14)}=\!2, \]

\[ y_0=-\frac14\cdot 2^2 + 2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. \]

Вершина: \((2,\,0)\), ветви вниз.

Свойства:

— Определена при всех \(x\). — Максимум \(y_{\max}=0\). — Значения: \((-\infty,\,0]\). — Возрастает при \(x<2\), убывает при \(x>2\). — Ось симметрии: \(x=2\).

в)

\[ y=x^2+3x. \]

Вершина:

\[ x_0=-\frac{3}{2\cdot1}=-\frac32, \]

\[ y_0=\left(-\frac32\right)^2 + 3\left(-\frac32\right) = \frac94 - \frac92 = -\frac94. \]

Вершина: \((-1.5,\,-2.25)\), ветви вверх.

Свойства:

— Определена при всех \(x\). — Значения: \([-\frac94,\,+\infty)\). — Возрастает при \(x>-1.5\), убывает при \(x<-1.5\). — Ось симметрии: \(x=-1.5\).

Пояснения:

1. Вершина находится по формуле \[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=f(x_0). \]

2. Знак коэффициента \(a\) определяет направление ветвей параболы. 3. Область значений определяется максимумом или минимумом в вершине.