Упражнение 154 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 60

а) \( y=-\tfrac12 x^2 + 5\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз  \((a=-\tfrac12<0).\)

2. \( m=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=0. \)

\(n=-\tfrac12\cdot 0^2 + 5=5.\)

Вершина параболы: \((0; 5)\). Прямая \(x=0\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-\tfrac12 x^2 + 5=0\)    \(|\times(-2)\)

\(x^2 -10=0\)

\((x- \sqrt {10})(x+\sqrt {10})=0\)

\(x- \sqrt {10}=0\) или \(x+\sqrt {10}=0\)

\(x=\sqrt {10}\)               \(x=-\sqrt {10}\)

\(x=3,2\)                 \(x=-3,2\)

\((-3,2; 0)\) и \((3,2; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 5)\)

б) \( y=x^2 - 4x\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0).\)    

2. \(m = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \)

\(n = 2^2 - 4\cdot 2 = 4 - 8 = -4. \)

Вершина параболы: \((2; -4)\). Прямая \(x=2\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функция:

\(x^2 - 4x=0\)

\(x(x-4)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-4=0\)

                       \(x=4\)

\((0; 0)\) и \((4; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 0).\)

в) \( y = -x^2 + 6x - 9 \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0)\).

2. \(m = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = 3\)

\(n = -(3^2) + 6\cdot 3 - 9 =\)

\(=-9 + 18 - 9 = 0. \)

Вершина параболы: \((3; 0)\). Прямая \(x=3\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-x^2 + 6x - 9 = 0\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x-3)^2= 0\)

\(x-3= 0\)

\(x=3\).

\((3; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\):

\(x=0\): \( y = -0^2 + 6\cdot0 - 9=-9 \)

\((0; -9)\).

Пояснения:

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.