Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№158 учебника 2023-2026 (стр. 60):
Выясните, график какой из функций \(y = x^{2} + 6x,\quad y = \frac12 x^{2} - 3x,\quad y = -x^{2} - 6\) изображён на рисунке 34.
№158 учебника 2014-2022 (стр. 57):
Докажите, что:
а) число \(\dfrac{1}{2}\) есть арифметический корень четвертой степени из \(\dfrac{1}{16}\);
п) число \(3\) есть арифметический кубический корень из \(27\);
в) число \(-2\) не является арифметическим корнем четвертой степени из \(16\);
г) число \(0{,}1\) не является арифметическим корнем пятой степени из \(0{,}0001\).
№158 учебника 2023-2026 (стр. 60):
Вспомните:
№158 учебника 2014-2022 (стр. 57):
Вспомните:
№158 учебника 2023-2026 (стр. 60):
На рисунке видно, что ветви параболы направлена вверх, \(⇒\) у искомой функции \(a>0\), поэтому исключаем функцию \(y = -x^{2} - 6.\)
Вершина параболы расположена в точке \((3; -4,5)\):
\(y = x^{2} + 6x\)
\(m = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3\ne3\)
\(y = \frac12 x^{2} - 3x\)
\(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{-3}{2\cdot \frac12} = 3\)
\(n= \frac12 \cdot 3^{2} - 3\cdot 3 =\)
\(=\frac92 - 9 = -\frac{9}{2} = -4,5. \)
Ответ: на рисунке изображен график функции \( y = \frac12 x^{2} - 3x. \)
Пояснения:
1. Вершина параболы находится по формуле \[m= -\frac{b}{2a},\qquad n= f(m) \] для функции \(y = ax^{2} + bx + c\).
2. По рисунку можно определить направление ветвей (вверх) и координаты вершины. Только функция \(y=\frac12 x^{2}-3x\) удовлетворяет данным условиям.
№158 учебника 2014-2022 (стр. 57):
а) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1^4}{2^4}=\dfrac{1}{16}\) и \(\frac12 > 0\),
поэтому \(\sqrt[4]{\frac{1}{16} }=\dfrac{1}{2}\).
б) \(3^3=27\) и \(3 > 0\), поэтому
\(\sqrt[3]{27 } = 3\).
в) \((-2)^4 = 16\), но \(-2<0\),
поэтому \(\sqrt[4]{16} \neq -2\).
г) \(0{,}1^5=0{,}00001\), поэтому
\(\sqrt[4]{0б0001 } \neq 0,1\).
Пояснения:
Арифметический корень \(n\)-й степени из числа \(a\) — это такое неотрицательное число \(b\), что
\[ b^n=a \]
То есть для проверки нужно выполнить два условия:
\( b^n=a \) и \( b \ge 0 \).
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, число не является арифметическим корнем.
Теперь разберём каждый пункт.
а) Нужно доказать, что число \(\dfrac{1}{2}\) является арифметическим корнем четвертой степени из \(\dfrac{1}{16}\).
Проверяем первое условие:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16} \]
Получили именно число \(\dfrac{1}{16}\).
Проверяем второе условие:
\[ \frac{1}{2}>0 \]
Число \(\dfrac{1}{2}\) положительное, значит оно может быть арифметическим корнем.
Оба условия выполнены, следовательно,
\[ \sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2} \]
б) Нужно доказать, что число \(3\) является арифметическим кубическим корнем из \(27\).
Проверяем:
\[ 3^3=27 \]
Также число \(3\) положительное:
\[ 3>0 \]
Значит, число \(3\) действительно является арифметическим кубическим корнем из \(27\):
\[ \sqrt[3]{27}=3 \]
в) Нужно показать, что число \(-2\) не является арифметическим корнем четвертой степени из \(16\).
С одной стороны,
\[ (-2)^4=16 \]
Но для арифметического корня этого недостаточно. Арифметический корень должен быть неотрицательным.
Проверяем знак числа:
\[ -2<0 \]
Поэтому число \(-2\) не может быть арифметическим корнем четвертой степени.
г) Нужно показать, что число \(0{,}1\) не является арифметическим корнем пятой степени из \(0{,}0001\).
Проверяем первую часть определения:
\[ (0{,}1)^5=0{,}00001 \]
Но по условию нужно получить число \(0{,}0001\), а получилось другое число:
\[ 0{,}00001 \ne 0{,}0001 \]
Значит, уже первое условие не выполняется. Поэтому число \(0{,}1\) не является арифметическим корнем пятой степени из \(0{,}0001\).
Вернуться к содержанию учебника