Вернуться к содержанию учебника
Найдите:
а) наименьшее значение функции \(y = x^{2} - 4x - 4\);
б) наибольшее значение функции \(y = -x^{2} - 4x + 5\);
в) наименьшее значение функции \(y = x^{2} - 6x - 6\);
г) наибольшее значение функции \(y = -x^{2} - 3x + 2\).
а) \( y = x^{2} - 4x - 4 \)
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0)\), \(⇒\) наименьшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:
\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2\)
\(n= 2^{2} - 4\cdot 2 - 4 =\)
\(=4 - 8 - 4 = -8. \)
\(y_{min}=-8\).
Ответ: \(-8.\)
б) \( y = -x^{2} - 4x + 5 \)
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0)\), \(⇒\) наибольшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:
\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-4}{2\cdot(-1)} = -2\)
\(n = -(-2)^{2} - 4(-2) + 5 =\)
\(=-4 + 8 + 5 = 9. \)
\(y_{max}=9.\)
Ответ: \(9.\)
в) \(y = x^{2} - 6x - 6\)
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0)\), \(⇒\) наименьшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:
\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-6}{2\cdot 1} = 3\)
\(n= 3^{2} - 6\cdot 3 - 6 =\)
\(=9 - 18 - 6 = -15. \)
\(y_{min}=-15\).
Ответ: \(-15\).
г) \( y = -x^{2} - 3x + 2\)
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0)\), \(⇒\) наибольшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:
\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-3}{2\cdot(-1)} =\)
\(=-\frac{-3}{-2} = -\frac{3}{2}=-1,5\)
\(n = -(-1,5)^2 - 3\cdot(-1,5) + 2 =\)
\(=-2,25+4,5+2 =4,25 . \)
\(y_{max}=4,25.\)
Ответ: \(4,25\).
Пояснения:
1. Графиком функции \(y = ax^2 + bx + c\) является парабола, координаты вершины которой находятся по формуле:
\(m = -\frac{b}{2a},\qquad n= f(m). \)
2. Если \(a>0\) - ветви параболы направлены «вверх», а значит ордината вершины будет минимальным значением функции. Если \(a<0\) - ветви параболы направлены «вверх», а значит ордината вершины будет максимальным значением функции
Вернуться к содержанию учебника