Упражнение 157 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = x^{2} - 4x - 4 \)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0)\), \(⇒\) наименьшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:

\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2\)

\(n= 2^{2} - 4\cdot 2 - 4 =\)

\(=4 - 8 - 4 = -8. \)

 \(y_{min}=-8\).

Ответ: \(-8.\)

б) \( y = -x^{2} - 4x + 5 \)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0)\), \(⇒\) наибольшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:

\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-4}{2\cdot(-1)} = -2\)

\(n = -(-2)^{2} - 4(-2) + 5 =\)

\(=-4 + 8 + 5 = 9. \)

\(y_{max}=9.\)

Ответ: \(9.\)

в) \(y = x^{2} - 6x - 6\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0)\), \(⇒\) наименьшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:

\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-6}{2\cdot 1} = 3\)

\(n= 3^{2} - 6\cdot 3 - 6 =\)

\(=9 - 18 - 6 = -15. \)

 \(y_{min}=-15\).

Ответ: \(-15\).

г) \( y = -x^{2} - 3x + 2\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0)\), \(⇒\) наибольшее ее значение равно ординате вершины. Находим вершину:

\(m =-\frac{b}{2a}= -\frac{-3}{2\cdot(-1)} =\)

\(=-\frac{-3}{-2} = -\frac{3}{2}=-1,5\)

\(n = -(-1,5)^2 - 3\cdot(-1,5) + 2 =\)

\(=-2,25+4,5+2 =4,25 . \)

\(y_{max}=4,25.\)

Ответ:  \(4,25\).

Пояснения:

1. Графиком функции  \(y = ax^2 + bx + c\) является парабола, координаты вершины которой находятся по формуле:

\(m = -\frac{b}{2a},\qquad n= f(m). \)

2. Если \(a>0\) - ветви параболы направлены «вверх», а значит ордината вершины будет минимальным значением функции. Если \(a<0\) - ветви параболы направлены «вверх», а значит ордината вершины будет максимальным значением функции

\( y = \sqrt{x} \)

1) A(144; 12) - принадлежит.

\( 12=\sqrt{144} \)

\( 12=12 \) - верно.

2) B(169; -13) - не принадлежит.

\( -13=\sqrt{169} \)

\( -13=13 \) - неверно.

3) C(-100; 10) - не принадлежит.

\( 10=\sqrt{-100} \) - не имеет смыла.

Пояснения:

Функция \( y=\sqrt{x} \) имеет область определения:

\[ x \ge 0 \]

Это означает, что подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Также важно свойство:

\[ \sqrt{x} \ge 0 \]

То есть значение квадратного корня всегда неотрицательное.

Рассмотрим каждую точку.

Точка A(144; 12):

\[ y=\sqrt{144}=12 \]

Полученное значение совпадает с координатой \( y \), значит точка принадлежит графику.

Точка B(169; -13):

\[ y=\sqrt{169}=13 \]

Но по условию \( y=-13 \), а это невозможно для квадратного корня. Значит точка не принадлежит графику.

Точка C(-100; 10):

\( \sqrt{-100} \) не существует в действительных числах. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.