Упражнение 150 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№150 учебника 2023-2026 (стр. 59):
Квадратичная функция задана формулой:
а) \(y = x^{2} - 4x + 7\);
б) \(y = -2x^{2} - 5x - 2\).
Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.
№150 учебника 2014-2022 (стр. 53):
Решите графически уравнение:
а) \( x^3 = 2 \);
б) \( x^3 = 4 \);
в) \( x^3 = -5 \).
Подсказка
№150 учебника 2023-2026 (стр. 59):
Вспомните:
- Что такое функция.
- График функции.
- Квадратичную функцию и ее график.
- Степень числа с натуральным показателем.
- Сложение и вычитание рациональных чисел.
- Умножение рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
№150 учебника 2014-2022 (стр. 53):
Вспомните:
- Степенную функцию.
- Линейную функцию.
- Степень с натуральным показателем.
- Координаты точки на координатной плоскости.
Ответ
№150 учебника 2023-2026 (стр. 59):
а) \( y = x^{2} - 4x + 7\)
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c=7\).
\( m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2. \)
\( n = 2^{2} - 4\cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\)
Вершина параболы: \((2; \,3)\).
Прямая \(x=2\) - ось симметрии параболы.
Так как \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх.
При \(x=0\):
\( y = 0^{2} - 4\cdot0 + 7=7.\)
Точка пересечения с осью ординат: \((0; 7)\)
б) \( y = -2x^{2} - 5x - 2 \)
\(a = -2\), \(b = -5\), \(c=-2\).
\(m= -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2(-2)} = \frac{5}{-4} =\)
\(=-\frac{5}{4}\)
\(n= -2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{4}\right) - 2 =\)
\(= -2\cdot\frac{25}{16} -+\frac{25}{4}^{\color{red}{\backslash{2}} } - 2 =\)
\(= -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - 2 = \frac{25}{8} - 2 =\)
\(=\frac{25}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8}\)
Вершина: \(\left(-\frac{5}{4};\,\frac{9}{8}\right)\).
Прямая \(x=-\frac54\) - ось симметрии параболы.
Так как \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз.
При \(x=0\):
\( y = -2\cdot0^{2} - 5\cdot0 - 2 = -2.\)
Точка пересечения с осью ординат: \((0; -2)\)
Пояснения:
1. Формула вершины параболы \((m; n)\):
\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]
Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]
2. Ось симметрии
Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).
3. Направление ветвей
• если \(a > 0\) — ветви вверх;
• если \(a < 0\) — ветви вниз.
В задаче:
а) вершина \((2,3)\), ветви вверх;
б) вершина \(\left(-\frac54; \frac98\right)\), ветви вниз.
№150 учебника 2014-2022 (стр. 53):
а) \( x^3 = 2 \)
\(y = x^3\) и \(y = 2\)
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Ответ: \( x \approx 1{,}3 \).
б) \( x^3 = 4 \)
\(y = x^3\) и \(y = 4\)
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Ответ: \( x \approx 1{,}6 \).
в) \( x^3 = -5 \)
\(y = x^3\) и \(y = -5\)
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Ответ: \( x \approx -1{,}7 \).
Пояснения:
Графический способ:
Решаем уравнение как пересечение графиков:
\[ y = x^3 \quad \text{и} \quad y = a \]
Свойства функции:
\[ y = x^3 \]
— нечётная функция;
— возрастает на всей числовой прямой;
— принимает любые значения.
\(y = a\) - прямая параллельная оси \(x\).
Следствие:
Каждое уравнение вида \( x^3 = a \) имеет ровно одно решение.
Как находить:
1) Проводим прямую \( y = a \).
2) Находим точку пересечения с графиком \( y = x^3 \).
3) Опускаем на ось \( x \) и считываем значение.
Вернуться к содержанию учебника