Упражнение 156 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = (x - 2)(x + 4) \)

\( y = x^2 + 4x - 2x - 8 \)

\(y= x^2 + 2x - 8\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (\(a=1>0\)).

2.  \(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{2}{2\cdot1} = -1\)

\(n = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = -9.\)

Вершина параболы: \((-1; -9).\) Прямая \(x=-1\) - ось симметрии параболы. 

3. Нули функции:

\((x - 2)(x + 4)=0\)

\(x - 2 = 0\) или  \(x + 4 = 0\)

\(x=2\)                 \(x=-4.\)

\((-4; 0)\) и \((2; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y:\)

\(x=0:\) \( y = (0 - 2)(0 + 4)=-8.\)

\((0; -8).\)

б) \( y = -x(x + 5) \)

\( y = -x^2 - 5x \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (\(a=-1<0\)).

2. \(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{-5}{2(-1)}= -2,5, \)

\( n= -(-2{,}5)^2 - 5(-2{,}5) =\)

\(= -6{,}25 + 12{,}5 = 6{,}25. \)

Вершина параболы: \((-2,5; 6,25)\). Прямая \(x=-2,5\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-x(x + 5)=0\)

\(x=0\) или \(x+5=0\)

                   \(x=-5.\)

\((0; 0)\) и \((-5; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y:\) \((0; 0).\)

Пояснения:

Каждая функция сводится к параболе вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.

а) \(\dfrac{1-y}{1+y}+\dfrac{y^2+6y}{y^2-1}:\dfrac{6+y}{1+y}=\)

\(=\dfrac{1-y}{1+y}+\dfrac{y\cancel{(y+6)}}{(y-1)\cancel{(y+1)}}\cdot\dfrac{\cancel{y+1}}{\cancel{y+6}}=\)

\(=\dfrac{1-y}{y+1} ^{\color{blue}{\backslash y-1}}  +\dfrac{y}{y-1} ^{\color{blue}{\backslash y+ 1}}  =\)

\(=\dfrac{(1 - y)(y - 1)+y(y + 1)}{(y+1)(y-1)}=\)

\(=\dfrac{y - 1 - \cancel{y^2} + y + \cancel{y^2} + y}{(y+1)(y-1)}=\)

\(=\dfrac{3y-1}{(y+1)(y-1)}=\dfrac{3y-1}{y^2-1}.\)

б) \(\dfrac{4x^2-49}{2x+5}\cdot\dfrac{1}{4x^2+14x}-\dfrac{2x+7}{4x^2-10x}=\)

\(=\dfrac{(2x-7)\cancel{(2x+7)}}{2x+5}\cdot\dfrac{1}{2x\cancel{(2x+7)}}-\dfrac{2x+7}{2x(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{2x-7}{2x(2x+5)} ^{\color{blue}{\backslash2x-5}}  -\dfrac{2x+7}{2x(2x-5)} ^{\color{blue}{\backslash 2x + 5}}  =\)

\(=\dfrac{(2x-7)(2x-5)-(2x+7)(2x+5)}{2x(2x+5)(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{(4x^2-10x -14x+35)-(4x^2+10x+14x+35)}{2x(2x+5)(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{(4x^2-24x+35)-(4x^2+24x+35)}{2x(2x+5)(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{4x^2}-24x+\cancel{35}-\cancel{4x^2}-24x-\cancel{35}}{2x(2x+5)(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{-48\cancel x}{2\cancel x(2x+5)(2x-5)}=\)

\(=\dfrac{-24}{(2x+5)(2x-5)}=\dfrac{-24}{4x^2-25}.\)

Пояснения:

В этих заданиях используются правила преобразования рациональных дробей.

\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C} \]

То есть деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

Эта формула помогает разложить разность квадратов на множители.

Также при сложении и вычитании дробей нужно приводить их к общему знаменателю.

Пункт а).

Сначала переходим от деления дробей к умножению:

\(\dfrac{1-y}{1+y}+\dfrac{y^2+6y}{y^2-1}:\dfrac{6+y}{1+y}=\)

\(=\dfrac{1-y}{1+y}+\dfrac{y^2+6y}{y^2-1}\cdot\dfrac{1+y}{6+y}\)

Далее раскладываем на множители и сокращаем одинаковые множители \(y+6\) и \(y+1\), тогда всё выражение становится таким:

\[ \frac{1-y}{1+y}+\frac{y}{y-1} \]

Общий знаменатель:

\[ (y+1)(y-1) \]

После приведения к общему знаменателю получаем:

\(\dfrac{(1 - y)(y - 1)+y(y + 1)}{(y+1)(y-1)}\)

Раскрываем в числителе скобки и приводим подобные, в знаменателе применяем формулу разности квадратов:

\(\dfrac{3y-1}{y^2-1}.\)

Пункт б).

Сначала раскладываем знаменатели и числитель на множители:

\( \frac{4x^2-49}{2x+5}\cdot\frac{1}{4x^2+14x}-\frac{2x+7}{4x^2-10x} =\)

\( =\frac{(2x-7)(2x+7)}{2x+5}\cdot\frac{1}{2x(2x+7)}-\frac{2x+7}{2x(2x-5)} \)

В произведении первой и второй дроби сокращается множитель \(2x+7\), тогда выражение принимает вид:

\[ \frac{2x-7}{2x(2x+5)}-\frac{2x+7}{2x(2x-5)} \]

Общий знаменатель:

\[ 2x(2x+5)(2x-5) \]

После приведения к общему знаменателю, получаем:

\(\dfrac{(2x-7)(2x-5)-(2x+7)(2x+5)}{2x(2x+5)(2x-5)}.\)

Раскрываем в числителе скобки и приводим подобные:

\(\dfrac{-48 x}{2x(2x+5)(2x-5)}.\)

Сократив дробь на \(x\) и в знаменателе применив формулу разности квадратов, имеем:

\(\dfrac{-24}{4x^2-25}.\)