Упражнение 639 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{10}{(x-5)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x-5}\)  \(/\times(x-5)(x+1)\)

ОДЗ: \(x-5\neq0\)  и  \(x+1\neq0\)

          \(x\neq5\)             \(x\neq-1\)

\( 10+x(x-5)=3(x+1)\)

\(10+x^2 - 5x = 3x+3\)

\(10 +x^2 - 5x - 3x - 3 = 0\)

\(x^2 -8x +7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac=(-8)^{2}-4\cdot1\cdot7=\)

\(=64-28=36\),    \(\sqrt D = 6\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\dfrac{14}{2}=7\).

\(x_2=\dfrac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\dfrac{2}{2}=1\).

Ответ: \(7;   1\).

б) \(\displaystyle \frac{17}{(x-3)(x+4)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4}\)  \(/\times(x-3)(x+4)\)

ОДЗ: \(x-3\neq0\)  и  \(x+4\neq0\)

          \(x\neq3\)             \(x\neq-4\)

\( 17-(x+4)=x(x-3)\)

\(17 - x - 4 = x^2 -3x\)

\(13 - x - x^2 + 3x = 0\)

\(-x^2 +2x + 13 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 -2x -13 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -13\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-13)=\)

\(=4 + 52=56\),

\(\sqrt D = \sqrt{56} = \sqrt{4\cdot14} =2\sqrt{14} \).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm2\sqrt{14}}{2\cdot1}=\)

\(=\dfrac{2\pm2\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\cancel{2}(1\pm\sqrt{14})}{\cancel{2}}=\)

\(=1\pm\sqrt{14}\).

Ответ: \(1+\sqrt{14};   1-\sqrt{14}\).

в) \(\displaystyle \frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2-1}=0\)

\(\displaystyle \frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x+1)}=0\) \(/\times(x-1)^2(x+1)^2\)

ОДЗ: \(x-1\neq0\)  и  \(x+1\neq0\)

          \(x\neq1\)            \(x\neq-1\)

\( 4(x-1)^{2}-(x+1)^{2}+(x-1)(x+1)=0 \)

\(4(x^2 -2x + 1) -(x^2 + 2x + 1) +(x^2 - 1) = 0\)

\(4x^2 - 8x + 4 -x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0\)

\( 4x^{2}-10x+2=0 \)    \( / : 2\)

\(2x^{2}-5x+1=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot1=\)

\(=25 -8=17\),    \(\sqrt D = \sqrt{17}\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{17}}{2\cdot2}=\)

\(=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{5+\sqrt{17}}{4};   \dfrac{5-\sqrt{17}}{4}\).

г) \(\displaystyle \frac{4}{9x^{2}-1}+\frac{1}{3x^{2}-x}=\frac{4}{9x^{2}-6x+1}\)

\(\displaystyle \frac{4}{(3x-1)(3x+1)}+\frac{1}{x(3x-1)}=\frac{4}{(3x-1)^2}\)  \(/\times x(3x-1)^2(3x+1)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(3x - 1\neq0\) и \(3x + 1\neq0\)

               \(3x \neq1\)           \(3x \neq-1\)

               \(x\neq\frac13\)            \(x\neq-\frac13\)

\( 4x(3x-1)+(3x-1)(3x+1)=4x(3x+1)\)

\(12x^2 - 4x +9x^2 - 1 = 12x^2 +4x\)

\(\cancel{12x^2} - 4x +9x^2 - 1 - \cancel{12x^2} - 4x=0\)

\(9x^2 - 8x - 1=0\)

\(a = 9\),  \(b = -8\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-8)^{2}-4\cdot9\cdot(-1)=\)

\(=64 + 36=100\),    \(\sqrt D = 10\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-8)+10}{2\cdot9}=\dfrac{18}{18}=1\).

\(x_2=\dfrac{-(-8)-10}{2\cdot9}=\dfrac{-2}{18}=-\frac19\).

Ответ: \(1;   -\frac19\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) \(x^2 + bx + c = 0\)

Корни уравнения:

\(x_1=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\) и \(x_2=\dfrac{\sqrt3+1}{2}\).

1) \(x_1 + x_2 = -b\)

\(\frac{\sqrt3-1}{2}+\frac{\sqrt3+1}{2}=\)

\(=\frac{\sqrt3-1+\sqrt3+1}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2\sqrt3}{\cancel2}=\sqrt3. \)

\(-b = \sqrt3. \)

\(b = -\sqrt3. \)

2) \(x_1\cdot x_2 = c\)

\(\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot\frac{\sqrt3+1}{2} =\)

\(=\frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}{4} =\)

\(=\frac{(\sqrt3)^2-1^2}{4}=\frac{3-1}{4}=\)

\(=\frac24=\frac12 = 0,5\)

\(c = 0,5\).

3) \(x^2 -\sqrt 3x + 0,5=0\)   \(/\times2\)

\(2x^2 -2\sqrt 3x + 1=0\)

Ответ: \(2x^2 -2\sqrt 3x + 1=0\).

б) \(x^2 + bx + c = 0\)

Корни уравнения:

\(x_1=2-\sqrt3\) и \(x_2=\dfrac{1}{\,2-\sqrt3\,}\).

1) \(x_1 + x_2 = -b\)

\((2-\sqrt3) ^{\color{blue}{\backslash2-\sqrt3}} +\frac{1}{2-\sqrt3} =\)

\(=\frac{(2-\sqrt3)^2+1}{2-\sqrt3} = \)

\(=\frac{2^2-4\sqrt3+(\sqrt3)^2+1}{2-\sqrt3} = \)

\(=\frac{4-4\sqrt3+3+1}{2-\sqrt3} = \)

\(=\frac{8-4\sqrt3}{2-\sqrt3} =\frac{4\cancel{(2-\sqrt3)}}{\cancel{2-\sqrt3}} = 4\)

\(-b=4\)

\(b = -4\)

2) \(x_1\cdot x_2 = c\)

\((2-\sqrt3)\cdot\frac{1}{2-\sqrt3}=1. \)

\(c=1\)

3) \(x^2-4x+1=0. \)

Ответ: \(x^2-4x+1=0. \)

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

2) Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

3) Квадрат разности:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).

4) Свойство арифметического корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

5) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.