Упражнение 642 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 150

а) \( \frac{6}{x}=x \)

 \(y=\frac{6}{x}\)

\(y = x\)

Ответ: \(x=-2,4\) и \(x=2,4\).

б) \( \frac{6}{x}=-x+6 \)

 \(y=\frac{6}{x}\)

\(y=-x+6\)

Ответ: \(x = 1,3\) и \(x = 4,7\).

Пояснения:

• Графиком обратной пропорциональности \(y=\frac{k}{x}\) является гипербола (две ветви). Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).

• Знак \(k\) определяет положение ветвей в координатных четвертях:

– Если \(k>0\), то ветви гиперболы лежат в I и III координатных четвертях;

– Если \(k<0\), то ветви гиперболы лежат во II и IV координатных четвертях.

а) Чтобы решить уравнение \( \frac{6}{x}=x \), нужно найти точки пересечения двух графиков:

 \(y=\frac{6}{x}\) и \(y = x\),

где \(y = x\) - линейная функция, графиком которой является прямая (строим по двум точкам).

Решением уравнения являются значения координаты \(x\) для точек пересечения графиков.

б) Чтобы решить уравнение

\( \frac{6}{x}=-x + 6 \), нужно найти точки пересечения двух графиков:

 \(y=\frac{6}{x}\) и \(y = -x+6\),

где \(y = -x + 6\) - линейная функция, графиком которой является прямая (строим по двум точкам).

Решением уравнения являются значения координаты \(x\) для точек пересечения графиков.

\( ax-2x=a^3-2a^2-9a+18 \)

\( (a-2)x=a^3-2a^2-9a+18 \)

1 случай:

Если \(a - 2 \neq 0\), то есть \(a\neq 2\):

\( x=\frac{a^3-2a^2-9a+18}{a-2} \)

\( x=\frac{a^2(a-2)-9(a-2)}{a-2} \)

\( x=\frac{\cancel{(a-2)}(a^2-9)}{\cancel{a-2}} \)

\(x = a^2 - 9\)

2 случай:

Если \(a - 2 = 0\), то есть \(a=2\):

\(0x=2^3 - 2 \cdot2^2 - 9\cdot2 + 18\)

\(0x=8-8-18+18\)

\(0x=0 \) - верно при любом \(x\).

Ответ: если \(a\neq 2\), то \(x=a^2-9\); если \(a=2\), то \(x\) — любое число.

Пояснения:

В левой части уравнения

\( ax-2x=a^3-2a^2-9a+18 \)вынесли множитель \(x\) за скобки:

\( (a-2)x=a^3-2a^2-9a+18 \).

Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при \(x\) или равен нулю.

Если \(a - 2 \neq 0\), то есть \(a\neq 2\), то уравнение имеет единственный корень

\( x=\frac{a^3-2a^2-9a+18}{a-2} \).

Разложив числитель дроби на множители способом группировки, получим:

\( x=\frac{(a-2)(a^2-9)}{a-2} \),

откуда, выполнив сокращение на \(a-2\):

\(x = a^2 - 9\).

Если \(a - 2 = 0\), то есть \(a=2\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\). В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что при \(a\neq 2\) уравнение имеет единственный корень \(a^2-9\), а при \(a =2\) любое число является корнем уравнения.