Упражнение 635 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=\dfrac{2x-1}{x+6}\)

ОДЗ: \(x\neq-6\).

Если \(y=5\),  то

\(\dfrac{2x-1}{x+6}=5\)  \(/\times(x+6)\)

\(2x-1=5(x+6)\)

\(2x-1=5x+30\)

\(2x-5x=30+1\)

\(-3x=31\)

\(x=-\frac{31}{3}\)

\( x=-10\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(-10\dfrac{1}{3}\).

Если \(y=-3\), то

\(\dfrac{2x-1}{x+6}=-3\)   \(/\times(x+6)\)

\(2x - 1 = -3(x+6)\)

\(2x-1 = -3x - 18\)

\(2x + 3x = -18 + 1\)

\(5x = -17\)

\(x = -\frac{17}{5}\)

\(x = -3,4\)

Ответ: \(-3,4\).

Если \(y=0\), то

\(\dfrac{2x-1}{x+6}=0\)   \(/\times(x+6)\)

\(2x-1=0\)

\(2x = 1\)

\(x=\dfrac12\)

\(x = -0,5\)

Ответ: \(-0,5\).

Если \(y=2\), то

\(\dfrac{2x-1}{x+6}=2\)   \(/\times(x+6)\)

\(2x - 1 = 2(x+6)\)

\(2x-1=2x+12\)

\(2x - 2x = 12 + 1\)

\(0=13\) — неверно.

Ответ: корней нет.

б) \(y=\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}\)

ОДЗ: \(x + 3 \neq0\)

         \(x\neq-3\).

Если \(y=-10\), то

\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=-10\)   \(/\times(x+3)\)

\(x^{2}+x-2=-10(x+3)\)

\(x^{2}+x-2=-10x-30\)

\(x^{2}+x-2+10x+30=0\)

\(x^{2}+11x+28=0\)

\(a = 1\),  \(b = 11\),  \(c = 28\)

\(D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4\cdot1\cdot28 =\)

\(=121 -112 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-11+3}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4\).

\( x_2 = \frac{-11-3}{2\cdot1}=\frac{-14}{2}=-7\).

Ответ: \(-4;   -7\).

Если \(y=0\), то

\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=0\)   \(/\times(x+3)\)

\(x^{2}+x-2=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) =\)

\(=1 + 8 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-1+3}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)

\( x_2 = \frac{-1-3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)

Ответ: \(1;   -2\).

Если \(y=-5\), то

\(\dfrac{x^{2}+x-2}{x+3}=-5\)   \(/\times(x+3)\)

\(x^{2}+x-2=-5(x + 3)\)

\(x^{2}+x-2=-5x-15\)

\(x^{2}+x-2+5x+15=0\)

\(x^{2}+6x+13=0\)

\(a = 1\),  \(b = 6\),  \(c = 13\)

\(D = b^2 - 4ac =6^2 - 4\cdot1\cdot13=\)

\(=36-52=-16<0\) — решений нет.

Ответ: корней нет.

Пояснения:

Вместо \(у \) в рассматриваемую функцию подставляем числовое значение и решаем полученное дробное рациональное уравнение.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Средняя скорость на всем пути \(37,5\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{2S}{\frac{S}{x} ^{\color{blue}{\backslash x-20}} +\frac{S}{x-20} ^{\color{blue}{\backslash x}} }=37{,}5 \)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x-20 \neq0\)

                          \(x \neq 20\)

\( \frac{2S}{\frac{S(x-20)+Sx}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(x-20+x)}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(2x-20)}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\(2S : \frac{S(2x-20)}{x(x-20)}=37,5\)

\(\cancel{2S} \cdot \frac{x(x-20)}{\cancel{2S}(x-10)}=37,5\)

\(\frac{x(x-20)}{x-10}=\frac{375}{10}\)   \(/\times 10(x-10)\)

\(10x(x-20) = 375(x-10)\)

\(10x^2 -200x = 375x -3750\)

\(10x^2 -200x - 375x +3750=0\)

\(10x^2-575x+3750=0\)  \( / : 5\)

\(2x^2-115x+750=0\)

\(a = 2\),  \(b = -115\),  \(c = 750\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-115)^2 -4\cdot2\cdot750=\)

\(=13225 - 6000 = 7225\), 

\(\sqrt D = 85\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-115)+85}{2\cdot2}=\frac{200}{4}=50\).

\( x_2 = \frac{-(-115)-85}{2\cdot2}=\frac{30}{4}=7,5\) - не удовлетворяет условию (\(x>20\)).

Ответ: скорость мотоциклиста на первой половине пути \(50\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.

Пусть расстояние в одну половину пути равно \(s\). Тогда время на каждой половине пути:

 \( t_1=\frac{s}{x},\qquad t_2=\frac{s}{x-20}. \)

Средняя скорость на всём пути (две равные половины):

\( v_{\text{ср}}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}}. \)

Учитывая то, что \(v_{\text{ср}}=12\) получим дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x(x-20)}{x-10}=\frac{375}{10}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(2x^2-115x+750=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 50\) и \(x_2 = 7,5\).

На второй половине пути мотоциклист снизил на \(20\) км/ч, значит, корень \(7,5\) не подходит (\(7,5 - 20 <0\)\).

Значит, скорость мотоциклиста на первой половине пути 50 км/ч.