Упражнение 632 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2x-5}{x+5}-4=0\)    \(/\times(x+5)\)

ОДЗ: \(x+5 \neq0\)

         \(x\ne-5\).

\(2x-5=4(x+5)\)

\(2x-5=4x+20\)

\(2x-4x=20 + 5\)

\(-2x = 25\)

\(x=-\dfrac{25}{2}\)

\(x=-12,5\)

Ответ: \(-12,5\).

б) \(\dfrac{12}{7-x}=x\)    \(/\times(7-x)\)

ОДЗ: \(7-x\neq0\)

          \(x\ne7\).

\(12=x(7-x)\)

\(12=7x-x^2\)

\(x^{2}-7x+12=0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 12\)

\(D = b^2 - 4ac =(-7)^2 -4\cdot1\cdot12=\)

\(=49 - 48 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+1}{2\cdot1}=\frac82=4\).

\( x_2 = \frac{-(-7)-1}{2\cdot1}=\frac62=3\).

Ответ: \(4;   3\).

в) \(\dfrac{x^{2}-4}{4x}=\dfrac{3x-2}{2x}\)    \(/\times4x\)

ОДЗ: \(x\ne0\).

\(x^{2}-4=2(3x-2)\)

\(x^{2}-4=6x-4\)

\(x^{2}-4-6x+4=0\)

\(x^{2}-6x=0\)

\(x(x-6)=0\)

\(x=0\) - не подходит по ОДЗ.

\(x-6=0\)

\(x=6\)

Ответ: \(x = 6\).

г) \(\dfrac{10}{2x-3}=x-1\)     \(/\times(2x-3)\)

ОДЗ: \(2x-3\neq0\)

         \(2x\neq3\)

         \(x\ne\dfrac{3}{2}\)

         \(x\neq1,5\)

\(10=(x-1)(2x-3)\)

\(10 = 2x^2 -3x-2x+3\)

\(10=2x^{2}-5x+3\)

\(2x^{2}-5x+3-10=0\)

\(2x^{2}-5x-7=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 -4\cdot2\cdot(-7)=\)

\(=25 - 56 = 81\),   \(\sqrt D = 9\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-5)+9}{2\cdot2}=\frac{14}{4}=\frac72=3,5\).

\( x_2 = \frac{-(-5)-9}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1\)

Ответ: \(3,5;   -1\).

д) \(\dfrac{8}{x}=3x+2\)   \(/\times x\)

ОДЗ: \(x\ne0\).

\(8=x(3x+2)\)

\(8=3x^{2}+2x\)

\(3x^{2}+2x-8=0\)

\(a = 3\),  \(b = 2\),  \(c = -8\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot3\cdot(-8)=\)

\(=4 + 96 = 100\),   \(\sqrt D = 10\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-2+10}{2\cdot3}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}\).

\(x_2=\dfrac{-2-10}{2\cdot3}=\dfrac{-12}{6}=-2\).

Ответ: \(1\dfrac{1}{3};   -2\).

е) \(\dfrac{x^{2}+4x}{x+2}=\dfrac{2x}{3}\)   \(/\times 3(x+2)\)

ОДЗ: \(x + 2 \neq0\)

          \(x\ne-2\).

\(3(x^{2}+4x)=2x(x+2)\)

\(3x^{2}+12x=2x^{2}+4x\)

\(3x^{2}+12x-2x^{2}-4x=0\)

\(x^{2}+8x=0\)

\(x(x+8)=0\)

\(x = 0\)   или   \(x + 8 =0\)

                      \(x=-8\)

Ответ: \(0;  -8\).

ж) \(\dfrac{2x^{2}-5x+3}{10x-5}=0\)   \(/\times (10x-5)\)

ОДЗ: \(10x-5\neq0\)

         \(10x\neq5\)

          \(x\neq\dfrac{5}{10}\)

          \(x\neq0,5\).

\( 2x^{2}-5x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=25 - 24 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-5)+1}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=1,5\).

\(x_2=\dfrac{-(-5)-1}{2\cdot2}=\dfrac{4}{4}=1\).

Ответ: \(1,5;   1\).

з) \(\dfrac{4x^{3}-9x}{x+1{,}5}=0\)   \(/\times(x+1,5)\)

ОДЗ: \(x+1,5\neq0\)

         \(x\ne-1{,}5\).

\(4x^{3}-9x=0\)

\(x(4x^{2}-9)=0\)

\(x(2x-3)(2x+3)=0\)

\(x=0\)

или \(2x-3=0\)

\(2x=3\)

\(x=\dfrac{3}{2}\)

\(x=1,5\)

или \(2x+3=0\)

\(2x=-3\)

\(x=-\dfrac{3}{2}\)

\(x=-1,5\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(0;   1,5\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Пусть второй кран выполняет работу за \(x\) часов, тогда первый — за \(x+5\) часов. Тогда производительность второго крана \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+5}\).

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} \)  \(/\times 6x(x + 5)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 5 \neq0\)

                          \(x \neq -5\)

\(6(x +5) +6x = x(x+5)\)

\(6x + 30 +6x = x^2 +30x\)

\(12x + 30 = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 12x -30=0\)

\(x^2 - 7x -30 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c =-30\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30) =\)

\(=49 + 120 = 169\),   \(\sqrt D = 13\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2 = \frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\) - не удовлетворяет условию.

1) \(10\) (ч) - потребуется второму крану.

2) \(10 + 5 = 15 \) (ч) - потребуется первому крану.

Ответ: \(10\) ч и \(15\) ч.

---

Пояснения:

Пусть второй кран выполняет работу за \(x\) часов, тогда первый — за \(x+5\) часов. Тогда производительность второго крана \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+5}\).  При совместной работе производительность двух кранов равна \(\dfrac{1}{6}\) (так как всю работу они выполняют за \(6\) ч). Значит, можем составить дробное рациональное уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} \).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 7x -30 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -3\).

Отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.

Значит, 10 ч потребовалось бы второму крану для разгрузки баржи.

Первому крану для разгрузки баржи потребуется на \(5\) ч больше, значит, первому крану потребуется:

\(10 + 5 = 15 \) (ч).