Упражнение 609 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-6x+10=\)

\(=(x^{2}-2\cdot3 \cdot x + 3^2) - 3^2+10=\)

\(=(x-3)^{2}-9+10 =\)

\(=(x-3)^{2} + 1>0\).

б) \(5x^{2}-10x+5=\)

\(=5(x^{2}-2x+1)=\)

\(=5(x-1)^{2}\ge0\).

в) \(-x^{2}+20x-100=\)

\(=-(x^{2}-20x+100)=\)

\(=-(x-10)^{2}\le0\).

г) \(-2x^{2}+16x-33=\)

\(=-2\bigl(x^{2}-8x + 16,5\bigr)=\)

\(=-2\bigl((x^{2}-2\cdot4\cdot x + 4^2) - 4^2 + 16,5\bigr)=\)

\(=-2\bigl((x- 4)^2 - 16 + 16,5\bigr)=\)

\(=-2\bigl((x- 4)^2+0,5\bigr)=\)

\(=-2(x-4)^{2}-1<0\).

д) \(x^{2}-0{,}32x+0{,}0256=\)

\(=x^{2}-2\cdot0,16x+0,16^2=\)

\(=\bigl(x-0{,}16\bigr)^{2}\ge0\).

е) \(4x^{2}+0{,}8x+2=\)

\(=4\bigl(x^{2}+0{,}2x+0,5\bigr)=\)

\(=4\bigl((x^{2}+2\cdot0{,}1x + 0,1^2)-0,1^2+0,5\bigr)=\)

\(=4\bigl((x+0{,}1)^{2}-0{,}01+0,5\bigr)=\)

\(=4\bigl((x+0{,}1)^{2}+0,49\bigr)=\)

\(=4(x+0{,}1)^{2}+1{,}96>0\).

Чтобы выполнить доказательство, в каждом случае выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) Значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).

2) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

4) Квадрат любого числа неотрицателен:

\((a-b)^{2}\ge0\), тогда \(-(a-b)^{2}\le0\)

В пунктах г) и е) сначала вынесли за скобки множитель, равный коэффициенту перед \(x^2\), затем в скобках выделили квадрат двучлена.

а) \(\dfrac{21}{x+1}=\dfrac{16}{x-2}-\dfrac{6}{x}\) \(/\times x(x+1)(x-2)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x + 1 \neq0\) и \(x -2 \neq0\)

               \(x \neq-1\)        \(x \neq2\)

\( 21x(x-2)=16x(x+1)-6(x+1)(x-2)\)

\(21x^{2}-42x=16x^{2}+16x-6(x^2-2x+x-2)\)

\(21x^{2}-42x=16x^{2}+16x-6x^{2}+12x-6x+12 \)

\(21x^{2}-42x=10x^{2}+22x+12 \)

\(21x^{2}-42x-10x^{2}-22x-12 =0\)

\(11x^{2}-64x-12=0\)

\(a = 11\),  \(b = -64\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-64)^2 -4\cdot11\cdot(-12)=\)

\(=4096 + 528 = 4624\),    \(\sqrt D = 68\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-64)+68}{2\cdot11}=\frac{132}{22}=6\).

\( x_2 = \frac{-(-64)-68}{2\cdot11}=\frac{-4}{22}=-\frac{2}{11}\).

Ответ: \(6;  -\frac{2}{11}\).

б) \(\dfrac{2}{y^{2}-3y}-\dfrac{1}{y-3}=\dfrac{5}{y^{3}-9y}\)

\(\dfrac{2}{y(y-3)}-\dfrac{1}{y-3}=\dfrac{5}{y(y^{2}-9)}\)

\(\dfrac{2}{y(y-3)}-\dfrac{1}{y-3}=\dfrac{5}{y(y-3)(y+3)}\) \(/\times y(y-3)(y+3)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y - 3\neq0\) и \(y+3 \neq0\)

              \(y \neq3\)           \(y \neq-3\)

\(2(y+3) -y(y+3) = 5\)

\(2y + 6-y^2 -3y - 5 = 0\)

\(-y^2 -y +1 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(y^2 + y - 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac=1^2 -4\cdot1\cdot(-1) =\)

\(=1 +4 = 5\),    \(\sqrt D = \sqrt5\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2\cdot1}=\)

\(=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{-1+\sqrt5}{2};   \dfrac{-1-\sqrt5}{2}\).

в) \(\dfrac{18}{4x^{2}+4x+1}-\dfrac{1}{2x^{2}-x}=\dfrac{6}{4x^{2}-1}\)

\(\dfrac{18}{(2x+1)^2}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{6}{(2x-1)(2x+1)}\) \(/\times x(2x+1)^2(2x-1)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(2x + 1 \neq0\) и \(2x -1 \neq0\)

               \(2x \neq-1\)        \(2x \neq1\)

               \(x \neq-\frac12\)          \(x \neq\frac12\)

\( 18x(2x-1)-(2x+1)^{2}=6x(2x+1) \)

\(36x^2 -18x-(4x^2 + 4x +1) = 12x^2 + 6x\)

\(36x^2 -18x-4x^2 - 4x -1 - 12x^2 - 6x=0\)

\(20x^2 -28x -1=0\)

\(a = 20\),  \(b = -28\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-28)^2 -4\cdot20\cdot(-1) =\)

\(=784 + 80 = 864\),   

\(\sqrt D = \sqrt{864}=\sqrt{144\cdot6} = 12\sqrt6\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-28)\pm12\sqrt6}{2\cdot20}=\)

\(=\dfrac{28\pm12\sqrt6}{40}=\dfrac{\cancel4(7\pm3\sqrt6)}{\cancel{40}_{10}}=\)

\(=\dfrac{7\pm3\sqrt6}{10}\).

Ответ: \(\dfrac{7+3\sqrt6}{10};   \dfrac{7-3\sqrt6}{10}\).

г) \(\dfrac{3(4y^{2}+10y-7)}{16y^{2}-9}=\dfrac{3y-7}{3-4y}+\dfrac{6y+5}{3+4y}\)

\(\dfrac{3(4y^{2}+10y-7)}{(4y-3)(4y+3)}=\dfrac{7-3y}{4y-3}+\dfrac{6y+5}{4y+3}\) \(/\times (4y-3)(4y+3)\)

\( 3(4y^{2}+10y-7)=(7-3y)(4y+3)+(6y+5)(4y-3) \)

\(12y^2 + 30y - 21 =28y+21-12y^2-9y+24y^2-18y+20y-15\)

\(12y^2 + 30y - 21 =12y^2 +21y+6\)

\(\cancel{12y^2} + 30y - 21 -\cancel{12y^2} -21y-6=0\)

\(9y - 27 = 0\)

\(9y = 27\)

\(y = \frac{27}{9}\)

\(y = 3\)

Ответ: \(3\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Свойство корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a\cdot\sqrt b\).

Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).