Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№614 учебника 2023-2025 (стр. 141):
С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна \(50\) м/с, высота башни \(20\) м и \(t\) (с) — время полёта, то расстояние \(h\) (м) стрелы от поверхности земли в момент времени \(t\) (с) можно найти по формуле \[ h=-5t^{2}+50t+20 \] (приближенное значение ускорения свободного падения считается равным \(10\) м/с2). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?
№614 учебника 2013-2022 (стр. 144):
Принадлежат ли графику функции \(y=x^{2}+2x+5\) точки \(A(1{,}5;\;7{,}25)\), \(B(-3{,}2;\;9)\) и \(C(\sqrt{3}-1;\;7)\).
№614 учебника 2023-2025 (стр. 141):
Вспомните:
№614 учебника 2013-2022 (стр. 144):
Вспомните:
№614 учебника 2023-2025 (стр. 141):
\( h=-5t^{2}+50t+20=\)
\(=-5\bigl(t^{2}-10t-4\bigr) =\)
\(=-5\bigl((t^{2}-2\cdot5t+5^2) - 5^2-4\bigr) =\)
\(=-5\bigl((t-5)^2 - 25-4\bigr) =\)
\(=-5\bigl((t-5)^2 - 29\bigr) =\)
\(=-5(t-5)^2 + 145 \)
Наибольшая высота при:
\((t-5)^{2}=0 \)
\(t - 5 = 0\)
\(t=5\)
Наибольшая высота:
\( h_{наиб.}=-5\cdot0 + 145=145\) (м)
Ответ: наибольшая высота стрелы \(145\) м при \(t = 5\) с.
Пояснения:
Чтобы определить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, выделим квадрат двучлена в формуле высоты:
\( h=-5t^{2}+50t+20\).
Сначала выносим за скобки множитель \(-5\):
\(h=-5\bigl(t^{2}-10t-4\bigr)\).
В скобках прибавляем и вычитаем \(5^2\):
\(h=-5\bigl((t^{2}-2\cdot5t+5^2) - 5^2-4\bigr)\).
Откуда, выполнив преобразования, выделяем квадрат двучлена:
\(h=-5(t-5)^2 + 145 \).
Учитывая отрицательный коэффициент перед скобками, полученное выражение будет наибольшим, если
\((t-5)^{2}=0 \), то есть
\(t - 5 = 0\) откуда \(t=5\).
Значит, высота будет наибольшей при \(t=5\) и ее значение:
\( h_{наиб.}=-5\cdot0 + 145=145\) (м).
№614 учебника 2013-2022 (стр. 144):
\(y=x^{2}+2x+5\)
1) \(A(1{,}5;\;7{,}25)\) - не принадлежит графику.
\(7,25=1{,}5^{2}+2\cdot1{,}5+5\)
\(7,25=2{,}25+3+5\)
\(7,25=10{,}25\) - неверно.
2) \(B(-3{,}2;\;9)\) - не принадлежит графику.
\(9=(-3{,}2)^{2}+2\cdot(-3{,}2)+5\)
\(9=10{,}24-6{,}4+5\)
\(9=8{,}84\) - неверно.
3) \(C(\sqrt{3}-1;\;7)\) - принадлежит графику.
\(7 = (\sqrt{3}-1)^2+2(\sqrt{3}-1) + 5\)
\(7 = (\sqrt{3})^2-\cancel{2\sqrt3}+1+\cancel{2\sqrt{3}}-2 + 5\)
\(7 = 3+1-2+5\)
\(7=7\) - верно.
Пояснения:
Чтобы определить принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты вместо \(x\) и \(y\) в эту функцию, если после вычислений получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, если числовое равенство получится неверным, то точка графику не принадлежит.
Использованные приемы:
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Распределительное свойство умножения:
\(a(b + c) = ab + ac\).
- Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
Вернуться к содержанию учебника