Упражнение 607 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-6x-2=\)

\(=(x^{2}-2\cdot x\cdot3+3^2)-3^2-2=\)

\(=(x-3)^2-9-2=\)

\(=(x-3)^{2}-11\).

б) \(x^{2}+5x+20=\)

\(=\Bigl(x^{2}+2\cdot2,5x+2,5^2\Bigr)-2,5^2+20 =\)

\(=(x+2,5)^{2}-6,25+20=\)

\(=(x+2,5)^{2}+13,75\).

в) \(2x^{2}-4x+10=\)

\(=2(x^{2}-2x+5)=\)

\(=2((x^2 - 2\cdot1\cdot x+1^2) - 1^2 + 5)=\)

\(=2((x-1)^2+4)=2(x-1)^2 + 8\).

г) \(\dfrac12x^{2}+x-6=\)

\(=\dfrac12\bigl(x^{2}+2x - 12\bigr) =\)

\(=\dfrac12\bigl((x^{2}+2\cdot1\cdot x +1^2) - 1^2- 12\bigr) =\)

\(=\dfrac12\bigl((x+1)^{2}-13\bigr) =\)

\(=\dfrac12(x+1)^{2}-6,5\).

---

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) Значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).

2) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Пояснения по пунктам:

а) К \(x^{2}-6x\) добавили и вычли \(3^2\).

б) К \(x^{2}+5x\) добавили и вычли \(2,5^2\).

в) Вынесли \(2\) за скобки, внутри скобок к \(x^{2}-2x\) добавили и вычли \(1^2\).

г) Вынесли \(\dfrac12\) за скобки, внутри скобок к \(x^{2}+2x\) добавили и вычли \(1^2\).

а) \(\dfrac{5}{y-2}-\dfrac{4}{y-3}=\dfrac{1}{y}\)  \(/\times y(y-2)(y-3)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y-2\neq0\) и \(y-3\neq0\)

               \(y\neq2\)          \(y\neq3\)

\( 5y(y-3)-4y(y-2)=(y-2)(y-3) \)

\(y^{2}-7y=y^{2}-5y+6 \)

\(-2y=6\)

\(y=\frac{6}{-2}\)

\(y=-3. \)

Ответ: \(-3\).

б) \(\dfrac{1}{2(x+1)}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3}{x+3}\) \(/\times 2(x+1)(x+2)(x+3)\)

ОДЗ:

\(x+1\neq0\) и \(x+2\neq0\) и \(x+3\neq0\)

\(x\neq-1\)        \(x\neq-2\)        \(x\neq-3\).

\((x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)=6(x+1)(x+2)\)

\(x^2+3x+2x+6+2(x^2+3x+x+3) = 6(x^2 + 2x+x+2)\)

\(x^2+5x+6+2(x^2+4x+3) = 6(x^2 + 3x+2)\)

\(x^2+5x+6+2x^2+8x+6 = 6x^2 + 18x+12)\)

\(x^2+5x+6+2x^2+8x+6 - 6x^2 - 18x-12=0)\)

\(-3x^2-5x=0\)

\(x(-3x-5) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(-3x - 5 = 0\)

                     \(-3x = 5\)

                     \(x = -\frac{5}{3}\)

                     \(x = -1\frac{2}{3}\)

Ответ: \(0;   -1\frac{2}{3}\).

в) \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x^{2}-2x}=\dfrac{8}{x^{3}-4x}\)

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{8}{x(x^{2}-4)}\)

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{8}{x(x-2)(x+2)}\) \(/\times x(x-2)(x+2)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x - 2 \neq 0\) и \(x + 2 \neq0\)

              \(x \neq 2\)            \(x \neq-2\)

\( x(x-2)+(x+2)=8 \)

\(x^2 - 2x + x + 2 -8 = 0\)

\(x^{2}-x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=1 +24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3\).

\(x_2=\dfrac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\dfrac{-4}{2}=-2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(3\).

г) \(\dfrac{10}{y^{3}-y}+\dfrac{1}{y-y^{2}}=\dfrac{1}{1+y}\)

\(\dfrac{10}{y(y^{2}-1)}-\dfrac{1}{y(y-1)}=\dfrac{1}{y+1}\)

\(\dfrac{10}{y(y-1)(y+1)}-\dfrac{1}{y(y-1)}=\dfrac{1}{y+1}\) \(/\times y(y-1)(y+1)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y-1\neq0\) и \(y + 1\neq0\)

              \(y\neq1\)           \(y \neq-1\)

\(10-(y+1)=y(y-1)\)

\(10-y-1=y^2-y\)

\(10-y-1-y^2+y=0\)

\(-y^2 + 9 = 0\)

\(-y^{2}=-9\)

\(y^{2}=9\)

\(y_{1,2}=\pm\sqrt9\)

\(y_{1,2}=\pm3. \)

Ответ: \(-3;   3\).

д) \(1+\dfrac{45}{x^{2}-8x+16}=\dfrac{14}{x-4}\)

\(1+\dfrac{45}{(x-4)^2}=\dfrac{14}{x-4}\)  \(/\times (x-4)^2\)

ОДЗ: \(x-4\neq0\)

         \(x\neq4\).

\((x-4)^2 +45 = 14(x-4)\)

\(x^2 - 8x + 16 + 45 - 14x + 56 = 0\)

\(x^2 -22x +117=0\)

\(a = 1\),  \(b = -22\),  \(c = 117\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-22)^{2}-4\cdot1\cdot117=\)

\(=484-468 = 16\),    \(\sqrt D = 4\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-22)+4}{2\cdot1}=\dfrac{26}{2}=13\).

\(x_2=\dfrac{-(-22)-4}{2\cdot1}=\dfrac{18}{2}=9\).

Ответ: \(13;   9\).

е) \(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3-6x+3x^{2}}=3\)

\(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3(x^2-2x+1)}=3\)

\(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3(x-1)^2}=3\) \(/\times 3(x-1)^2\)

ОДЗ: \(x-1\neq0\)

         \(x\neq1\)

\(15(x-1) = 9(x-1)^2\)

\(15x-15=9(x^2-2x + 1)\)

\(15x-15 -4= 9x^2 -18x +9\)

\(15x - 19 -9x^2 +18x -9 = 0\)

\(-9x^2+33x-28=0\)    \( /\times(-1)\)

\(9x^2-33x+28=0\)

\(a = 9\),  \(b = -33\),  \(c = 28\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-33)^{2}-4\cdot9\cdot28=\)

\(=1089 -1008=81\),    \(\sqrt D = 9\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-33)+9}{2\cdot9}=\dfrac{42}{18}=\dfrac{7}{3}=3\dfrac{1}{3}\).

\(x_2=\dfrac{-(-33)-9}{2\cdot9}=\dfrac{24}{18}=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(3\dfrac{1}{3};   1\dfrac{1}{3}\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

4) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).