Задачи на построение

При решении многих задач на построение треугольников применяют метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

Задача

Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Дано: 1, 2, отрезок ЕK.

Построить: АВС такой, что А =1, В =2, СD - биссектриса, СD = ЕК.

Решение:

Имеем два угла и отрезок, строим их.

Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок А1В1 и построим треугольник А1В1С, у которого А1 =1, В1 =2.

Чтобы построить углы, равные данным, т.е. А1 =1 и В1 =2, сначала строим с помощью циркуля окружности произвольного радиуса с центрами в вершинах углов 1 и 2  (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), точки пересечения данных окружностей со сторонами угла 1 обозначаем буквами М и N, со сторонами угла 2 - Р и Н.

Теперь строим окружности с центрами в точках А1 и В1 таких же радиусов как и окружности с центрами в вершинах углов 1 и 2 (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Точки пересечения данных окружностей с отрезком А1В1 обозначаем А2 и В2 соответственно.

Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками М и N, и строи окружность радиуса МN c центром в точке А2 (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке А1 обозначаем буквой А3. Аналогично измеряем расстояние между точками Р и Н, и строи окружность радиуса РН c центром в точке В2 (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке В1 обозначаем буквой В3.

Проводим прямые через точки А1 и А3, В1 и В3. Точку пересечения прямых А1А3 и В1В3 обозначаем буквой С.

Теперь строим биссектрису угла С. С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине С (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла С обозначаем буквами F и S. Затем строим две окружности одинакового радиуса FS с центрами в точках F и S (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и зеленым цветом). Точку пересечения данных окружностей внутри угла С обозначаем буквой R, проводим прямую СR, которая и является биссектрисой угла С.

Далее на луче СR откладываем отрезок, равный данному отрезку ЕК. Для этого с помощью циркуля измеряем отрезок ЕК и строим окружность с центом в точке С радиуса ЕК (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное желтым цветом). Точку пересечения данной окружности с лучом СR обозначаем буквой D. Теперь через точку D нужно провести прямую АВ, параллельную прямой А1В1. Для этого строим окружность произвольного радиуса (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное зеленым цветом) с центром в точке пересечения прямой А1В1 и биссектрисы СR (в данном случае эта точка совпала с точкой А2), точки пересечения данной окружности с прямой А1В1 и биссектрисы СR обозначаем Y и X соответственно. Теперь строим окружность с центром в точке D такого же радиуса, как и радиус окружности с центром в точке А2  (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Точку пересечения данной окружности с биссектрисой СR обозначаем буквой G. Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками Y и X и чертим окружность с центром в точке G радиуса ХY (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом). Точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке D обозначаем буквой L. Далее проводим прямую через точки D и L, точки пересечения данной прямой с лучами СА1 и СВ1 обозначаем буквами А и В соответственно. Итак, мы построили  СDВ =СА2В1, причем эти углы соответственные при пересечении прямых А1В1 и АВ секущей СR, следовательно, А1В1АВ (по признаку параллельности двух прямых). АВСА1В1С (по двум углам).

Докажем, что АВС - искомый.

По построению АВА1В1, СА и СВ - секущие, углы А и А1, В и В1 - соответственные, значит, А =А1 и В =В1 (по теореме о соответственных углах), при этом по построению А1 =1 и В1 =2, поэтому А =1 и В =2 и также по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку ЕК. Следовательно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Что и требовалось доказать.

Данная задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 1800, т.к. сумма углов треугольника равна 1800. Отрезок А1В1 можно выбрать произвольно, поэтому существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по 2 признаку равенства треугольников), следовательно, задача имеет единственное решение.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Измерительные работы на местности

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 586, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 587, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 588, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 589, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник