Признаки параллельности двух прямых

Рассмотрим две прямые и , которые пересекает в двух точках третья прямая (Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .

При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на Рис.2. 

Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Признаки параллельности двух прямых

1. Теорема

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 90⁰, т.е. эти углы прямые, получим АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).

2 случай

Предположим, что 1 и 2 - не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н₁ (Рис. 5).

Получим ОНА = ОН₁В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН₁, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 =6, значит, 6 - прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).

Получаем, НН₁ и НН₁, значит  (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

2. Теорема

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - соответственные, 1 = 2 (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:

По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно,  (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

3. Теорема

Дано: прямые и , АВ - секущая, 1 и 2 - односторонние, 1 + 2 = 180⁰ (Рис.7).

Доказать: .

Доказательство:

Углы 3 и 2 - смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 180⁰, откуда 3 = 180⁰ - 2, при этом 1 + 2 = 180⁰, откуда 1 = 180⁰ - 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.