Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Задача

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота.

Доказать: АВСАСD, АВССВD, АСDСВD.

Доказательство:

1. В АВС и АСD: А - общий, АСВ =АDС = 900, следовательно, АВСАСD (по 1 признаку подобия треугольников).

2. В АВС и СВD: В - общий, АСВ =ВDС = 900, следовательно, АВССВD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому из определения подобных треугольников следует, что АСВ =ВDС.

3. В АСD и СВD: АСВ =ВDС, АDС =ВDС = 900, следовательно, АСDСВD (по 1 признаку подобия треугольников). Что и требовалось доказать.

Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков АВ и СD, называется такой отрезок ХY, что: .

Утверждения:

10. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота, АВ - гипотенуза.

Доказать: .

Доказательство:

АСDСВD (доказательство данного утверждения приведено в задаче выше), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда, , тогда . Что и требовалось доказать.

20. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота, АВ - гипотенуза.

Доказать: , .

Доказательство:

1. В АВС и АСD: А - общий, АСВ =АDС = 900, следовательно, АВСАСD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда , тогда .

2. В АВС и СВD: В - общий, АСВ =ВDС = 900, следовательно, АВССВD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда , тогда . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 572, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 575, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 576, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 577, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 578, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 623, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 668, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 669, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 855, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 868, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник