Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Задача

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота.

Доказать: АВСАСD, АВССВD, АСDСВD.

Доказательство:

1. В АВС и АСD: А - общий, АСВ =АDС = 90⁰, следовательно, АВСАСD (по 1 признаку подобия треугольников).

2. В АВС и СВD: В - общий, АСВ =ВDС = 90⁰, следовательно, АВССВD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому из определения подобных треугольников следует, что АСВ =ВDС.

3. В АСD и СВD: АСВ =ВDС, АDС =ВDС = 90⁰, следовательно, АСDСВD (по 1 признаку подобия треугольников). Что и требовалось доказать.

Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков АВ и СD, называется такой отрезок ХY, что: .

Утверждения:

Доказательство

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота, АВ - гипотенуза.

Доказать: .

Доказательство:

АСDСВD (доказательство данного утверждения приведено в задаче выше), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда, , тогда . Что и требовалось доказать.

Доказательство

Дано: АВС - прямоугольный, С - прямой, СD - высота, АВ - гипотенуза.

Доказать: , .

Доказательство:

1. В АВС и АСD: А - общий, АСВ =АDС = 90⁰, следовательно, АВСАСD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда , тогда .

2. В АВС и СВD: В - общий, АСВ =ВDС = 90⁰, следовательно, АВССВD (по 1 признаку подобия треугольников), поэтому сходственные стороны данных треугольников пропорциональны, т.е. , откуда , тогда . Что и требовалось доказать.